Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
9. Вектор места г в отсчетной конфигурации. Векторный базис г? отсчег-
ной конфигурации разыскивается по известным уже значениям ковариантных
компонент gsjl = rs-rjl метрического тензора Е этой конфигурации из
интегрируемой системы уравнений (1.18.12). Вектор места г определяется
вслед за этим квадратурой по (1.18.13). Получающиеся формулы должны,
конечно, представлять решения систем уравнений (9.1), (9.11) и (9.14)
относительно координат в отсчетной конфигурации, соответствующие случаям
a, (3,, (S2. Подлежащая рассмотрению система шести уравнений
^ = /,° dQl \ st j
7=\ q ,(r4 = gqr[sR г] V
= ?uri[s^, 1] +r2(g'22 [s^, 2]+gW(sl, 3]) -|- r3 (g23 [si, 2]+g33[sl, 3]
j21] ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 325
коэффициенты которой зависят лишь от одной координаты q1 (a) q1 =
х1,
Р) qi = R), в подробной записи приводится к виду
gu
dq1 2 gu ь
Sri йг. lfnr/' \ ¦ / . ' \ t
Щх "9~ 1\8ю8з3 g23g2S/ Г2 (-g22g23 + 8ъз8гз) Г3 J,
дх-t дх3 1 g,, г/ ' , / \ .// г \ з
~g 833823-7- 8vsg23> Г*2 \g33g22---g23go3) r3J,
dr2 Llkr Oil - _J_^?r
dq2 2 gu b d<?3 dp2 2 gu u dq3 2 gn 1- '
Интегрирование этой системы в каждом из случаев a, [Зц (32 сопряжено с
преодолением некоторых технических трудностей; оно заняло бы слишком
много места и не может быть здесь помещено. Конечно, оно приводит к
предвиденным формулам.
10. Концентрические сферы (решения четвертого класса). Здесь с2 = с3,
сх=с^2 и мера Альманзи представляется выражением
g = (c32-с3) e1e1 + c3E = gJ.fcR-rR*. (35)
В сферической системе
R = ReR, R1 = eK = e1, R2 = Re0, R3=7?eAsin0
и ковариантные компоненты тензора Альманзи по (1.4.10) оказываются
равными
Bsk
gll = C32. g22 = C3R2, 833 = CsR2Sin2 0, gl2=g23=g31----0.
Мера Альманзи-диагональный тензор
g=C3^2R1R1 + c3R2R2R2 + c3/?2sin2 0R2R2. (36)
Функция c3(R) должна удовлетворять шести условиям равенства нулю
компонент тензора Риччи. Его компоненты ^i223. Ri23i> R2331 -
тождественные иули. Вычисление компонент /?1212, R1313 приводит к одному
и тому же дифференциальному уравнению (г = с3/?2)
Его несложно находимый первый интеграл имеет вид
z'Y~z = CR\ z'%=C2RK (37)
Условию /?2323 = 0 теперь придается вид
4Р4 = гг'2 или 4Р2 = с3г'2
и оказалось возможным удовлетворить всем требованиям интегрируемости,
приняв в (37) постоянную С - 4. Это уравнение, если ввести новое
независимое переменное x-R3, преобразуется к виду
' dz\2
dxj Z 9 •
Интегрируя его, получаем
г3 = (х - Л)2 или c3(R) = R~2 (R3 - А)2/к (38)
326
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
В предположении, что деформация радиально-симметрична, имеем
г = r(R)tr, ri = r'(R)er, г 2 = ге6, r3 = rexsin0,
так что по (38)
Ей = г j -Г1 = г'2 (/?) = /?* (Я3 - Л) -4/-\ g" --- r2-r2 = /-2 = (Я3 -
g'33=r3-r3 = /-2Sin20=(/?s -Л)2/з5'П20, gl2 = g-23^g3l- 0. Из первого
соотношения следует, что
г=± Г-^^-=±(^-Л)Ч .) (R3-A)1'
причем удовлетворяются второе и третье (при 0 = ?0) - преобразование
отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (9.22). Принятое
предположение о радиальной симметричности деформации оправдано тем, что
любое решение подлежащей рассмотрению системы уравнений (1.18.12) можег
отличаться от найденного лишь жестким перемещением.
Глава 8
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
§ 1. Равновесие в варьированном напряженном состоянии
Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в
гл. 4, § 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- и актуальной ^-
конфигурациях. Напряженное состояние задавалось или тензором Пиола Р, или
тензором напряжений Коши Т. Уравнения статики в объеме и на поверхности
тела представлялись соотношениями
в и: V-P + p0k = 0, на о: n-P = f^- , (1)
в ЧР>\ V.T + pk = 0, на О: N-T = f. (2)
Частицам среды, находившимся в равновесии под действием сил, массовых к и
поверхностных f, сообщаются в актуальной ^-конфигурации виртуальные
перемещения T\w(qx, q2, q3), ц - малый параметр. Величины в новой ^^-
конфигурации снабжаются крестиком ( )х справа сверху, в частности Rx = R
-f- r)\v - вектор места. Виртуальные перемещения, по их определению
согласующиеся со связями, должны быть подчинены наперед заданным
ограничениям. Например, в несжимаемой среде согласно (1.10.18)
V-w = 0. (3)
На той части поверхности 02 тела, на которой заданы перемещения (6R- 0),
требуется
w = 0. (4)
При задании на всей поверхности О тела поверхностных сил f назначение
вектора w подчинено условию равенства нулю главного момента сил в ^^-
конфигурации, если последняя равновесна. Формулировка этого условия
приводится ниже (см. (21)). Наконец, иногда довольствуются рассмотрением
полей виртуальных перемещений специального вида.
Величина Ф в ^-конфигурации, как условлено выше, в срх-конфигурации
обозначаемая Фх, определяется по гл. 1, § 10 выражением
Фх = ф Г|Ф.
(5)
328
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Включение слагаемого г)Ф обусловлено изменением геометрии ^-конфигурации,
сопровождающимся наложением на поле вектора перемещения u = R - г из v- в
