Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Трименяя метод ДЛТ, по-
%. (2*4.115)
dJy dJx I
В результате приходим к интегралу -движения /, который точно совпадает с
/.
Распространение метода ДЛТ на более общие, чем (2.4.96), гамильтонианы до
сих пор не сделано. Неясно также, как выбирать /0 в тех случаях, когда
амплитуды Я/т всех гармоник отличны от нуля, так как при этом производная
dI0!dJ1 должна обращаться в нуль для всех рациональных значений отношения
частот. Тем не менее в пределах этих ограничений метод ДЛТ весьма полезен
для глобального устранения резонансных знаменателей г).
§ 2.5. Метод преобразований Ли
При использовании теории возмущений часто необходимо иметь разложение
выше первого-порядка. Так было в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а),
где1в силу вырождения потребовалось провести вычисления по крайней мере
во втором порядке, чтобы получить хоть какое-то представление об истинных
фазовых траекториях даже при низкой энергии. Имеются и другие случаи
(см., например, п. 2'.5в), когда в первом порядке получается нулевой
результат, а отличные от нуля члены возникают только во втором или более
высоких порядках. '
*) Отметим, что преимущество метода ДЛТ реально проявляется только в том
(по-видимому, редком) случае, когда подбором коэффициентов С[т
произведение (2.4.106) можно представить как достаточно простую функцию J
г.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
147
Применение классических методов Пуанкаре-Цейпеля для разложения выше
первого порядка становится все более и более утомительным. При
классическом подходе для преобразований от старых переменных У, 0 к новым
J, 0 используется производящая функция смешанного набора переменных,
например 5 (0, J, t). В результате и само преобразование также получается
в смешанных переменных
0 (0, 7, /) = -dS (0'/' , (2.5.1)
dJ
в то время как желательно было бы определить новые переменные как функции
старых 0 (0, J, t), или наоборот. То же самое справедливо и для
соотношения между новым и старым гамильтонианами
Н (0, J,t) = H (0, J, t) 4- - (Н' 1 • (2.5.2)
dt
Если Н, Н и 5 можно представить в виде рядов по степеням е, то
относительно нетрудно получить разложение в любом порядке [34 ]. Однако
уже во втором порядке по е появляются громоздкие выражения [см.,
например, (2.2.19)] без какой-либо явной системы в
них. В более высоких порядках количество алгебраических выкладок
становится удручающе велико, а физические закономерности оказываются
глубоко скрытыми.
Значительным шагом в развитии гамильтоновой теории возмущений явилось
введение преобразований Ли в работах Хори [199] и Гарридо [150]. При
использовании этих преобразований не возникают функции смешанного набора
переменных, а все члены рядов получаются в результате последовательного
применения скобок Пуассона, что делает теорию канонически инвариантной.
Депри [102] усовершенствовал этот метод и получил соотношение для
определения я-го члена разложения преобразования в степенной ряд по е.
Дьюар [105] разработал вариант метода, пригодный для изучения систем, не
допускающих- представления преобразования в виде степенного ряда. Драгт
и| Финн [107] использовали метод Ли при изучении сохранения магнитного
момента в диполь-ном поле. Хаулэнд [203] применил этот метод в
сверхсходящейся теории возмущений Колмогорова. Существенный вклад в
разработку метода внесли Кауфман и сотр. [214, 51, 52, 224, 225], а также
Мак-Намара [290]. Новая техника построения разложений, особенно
эффективная в высоких порядках, описана Кари [50], который следовал
работе Драгта и Финна [108]. Изложение метода Ли содержится в монографиях
Найфе [313] и Джакалья [153], а также в методических статьях Кари [49,
50] и Литлджона [280]. Наше изложение основано главным образом на
последних статьях.
148
Глава 2
В п. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для
получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации
получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью
модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических
инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка
изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней
силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны.
В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290 ] получения
адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен
резонанс волна-частица.
2.5а. Общая теория
Начнем с рассмотрения автономных систем; случай явной зависимости
гамильтониана от времени исследуем позже. Пусть х=(р, q) - вектор
обобщенных импульсов и координат, представляющий положение системы в
фазовом пространстве. Введем производящую функцию Ли w (х, е) с помощью
уравнения
которое можно рассматривать как уравнение Гамильтона с "гамильтонианом" w
и "временем" е, записанное посредством скобок Пуассона. Его решение при
любом е и начальном условии х:
представляет собой каноническое преобразование от х к х, для которого
