Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний, например, значение а = 1/5 относится только к правому
резонансу на рис. 2.11, 6.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
143
висят от одной из переменных действия (в нашем случае от У2). Такая форма
гамильтониана не является исключительной и даже типична для неавтономных
систем с одной степенью свободы, которые можно изучать в расширенном
фазовом пространстве (см. п. 1.26) 1).
Метод ДЛТ использует определенную свободу в выборе интегралов движения.
На поверхности сечения 02 = const инвариантные линии являются прямыми Jг
= const. Но и любая функция /0 (Ух) также приводит к этим же прямым
/0(У j) = const. (2.4.97)
Поэтому /0 тоже можно рассматривать как интеграл невозмущенного движения
и выбирать его конкретную форму по своему усмотрению.
Непригодность классической теории возмущений для описания движения вблизи
резонанса обсуждалась в п. 2.26; там же и в п. 2.4в были рассмотрены
конкретные примеры резонансных знаменателей. Неудача классического
подхода имеет простое физическое объяснение: топология истинных
инвариантных кривых / = const отличается вблизи резонанса от топологии
невозмущенных инвариантных кривых /0 - const. Вообще говоря, при малом е
линии /0 -г е/х = const могут топологически отличаться от линий /0 = =
const, только если 1г велико. Поэтому появление больших значений Iг есть
просто отражение топологических изменений в теории возмущений. Это
наводит на мысль о том, что можно улучшить теорию возмущений, если
выбрать такие невозмущенные интегралы движения, чтобы отличие в топологии
обеспечивалось при малых /Д Так будет в том случае, когда dI0ldJx
обращается в нуль, т. е. инвариантные кривые I0 = const соответствуют
максимуму или минимуму по невозмущенному действию J г.
Теория возмущений. Для построения разложения нового инварианта / заметим,
что, согласно (1.2.21), любой интеграл движения удовлетворяет условию
[/, Н] = 0. (2.4.98)
Разлагая Н и /, получаем
H(J, 0) = Яо(7) + еЯ1(У, 0)+ . . ., (2.4.99)
/ (У, 0) = /о (Ух) + е/, (У, 0) + . . . , (2.4.100)
где /0 выбрано так, что является функцией только Jх. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, находим, что в нулевом порядке
условие
[/", Яо] = 0 (2.4.101)
0 Метод ДЛТ применим и непосредственно к неавтономным системам с одной
степенью свободы, причем без ограничений на вид невозмущенного
гамильтониана Я0 (У).- Прим. ред.
144
Глава 2
всегда удовлетворяется, ибо по построению 70 и Н0 не зависят от угловых
переменных. В первом порядке имеем
Ни Я0] + [/0, Нг] = 0, (2.4.102)
или
(c)!= (2.4.103)
501 502 dJ1 50х 4 '
Разлагая Нх и 1г в ряд Фурье
Я, = 2Я/т (У) e''('e'+mej , (2.4.104а)
1,т
h = Z^im(J)eiW'+me\ (2.4.1046)
l.m
получаем из (2.4.103)
(!")!+ nrn2)Iim = l-^f-H!m. (2.4.105)
uJ\
Чтобы найти инвариант, положим
JIsl = П Cv ".("У' + ау"'), (2.4.106)
где Су, т' - некоторые коэффициенты, а произведение берется по всем тем
значениям индексов т.', для которых амплитуды Фурье Hi'.m' отличны от
нуля. По построению dl0/dj1 обращается в нуль на каждом резонансе, и
величины 7/т, согласно (2.4.105), оказываются конечными. Новый инвариант
имеет вид
7 = /0 + e/i = const, (2.4.107)
где 70 находится интегрированием (2.4.106), a 7j определяется равенствами
(2.4.105) и (2.4.1046).
Резонанс волна - частица. Для иллюстрации метода рассмотрим гамильтониан
(2.2.67) для волны, распространяющейся под углом 45° к магнитному полю
[403 ]. Перейдем в систему отсчета волны (со == 0) и введем безразмерные
переменные: k± = kz = 1, Q = 1( УИ = 1, еФ0 = 1, р = (2Рф)1/2. Имеем
1 00 Н = -Р|+Рф+е Y, /m(p)sin(\t>-/тар). (2.4.108)
т--оо
В соответствии с (2.4.106) полагаем
d! о
Каноническая теория возмущений
145
С помощью выражения (2.4.105) находим
/m = sinjtр (2.4.110)
Рф - m
Интеграл движения первого порядка равен
/ = - cosjiP^-е sin яРф ^/т (Р)1-. (2.4.111)
я т Рф - m
2i--------------------------------
Ад Од
й
-г1-----------------------
а
Рис. 2.12. То же, что и на рис. 2.10 согласно теории ДЛТ первого порядка
(по данным работы [403]).
Заметим, что второй член этого выражения остается малым даже при
резонансах.
На рис. 2.12 показаны инвариантные кривые / = const на поверхности
сечения ср = л для тех же значений параметров, что
146
Глава 2
также является интегралом движения. Применяя метод ДЛТ, получаем из
(2.4.106) уравнение
dl0 da т
и результаты численного моделирования на рис. 2.10. Согласие между этими
рисунками хорошее, хотя, конечно, области хаотического движения, которые
наблюдаются при сильном возмущении на рис. 2.10, б, нельзя получить из
инвариантных кривых.
Отдельный резонанс. Сравним интеграл движения / в методе ДЛТ с интегралом
резонансной теории возмущений в случае одного резонанса. Для
гамильтониана
Н = а (Ух) -j- (о2У2 + sin (Ю1-тв2) (2.4.112)
преобразование (2.4.6) к резонансным переменным дает
N~a(lJ,)^~ со2(У2-sin 0j. (2.4.113)
Так как Я не зависит от 0а, то /2 = const. Поскольку Я = const, то
7=a(lj i) - mw2Ji + гА sin 0! (2.4.114)
