Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнением
о
n-T°(w) = - прх-1-2рп-? (w) = fx,
fx = - n* (- VvT-T°(v) +T' (v)). (10)
Поэтому
5 5 (n • T°(w)-f x )do = J J J [ V• T°(w)+V ¦ (-VvT • T°(v) +T' (v))
]dv=0
o v
и уравнение равновесия в объеме приводится к виду
V-T(w) + kx = 0, kx = V- [_VvT-T°(v)+T'(v)]. (11)
Уравнение связи (1) в этом приближении будет
D (w) = V ¦ w = у /х (в2 (v)) - to (v) • to (v), (12)
так как D(v) = 0 по (6). Поэтому
00 t 0 /0 о \ , / о о о \
V-?(w) = -^- V-(iVw-|-VwTJ = y VV-wy =
,о , о
= lV2w + |v
2
4-Л (8* (v))-(r)(v)-(0 (v)
и уравнению равновесия в объеме (11) придается вид
оо о
Урх + pV2w-f- pV
Л (е2 (v)) - (о (v) • to (v)
+ kx = 0. (13)
Корректирующие вектор w и скаляр определяются этим уравнением, условием
(12) и краевым условием (10). Главный вектор массовых кх и поверхностных
fx сил равен нулю и необходимым условием существования вектора w является
симметричность силового тензора
В = И! ^ fxr do = ^ QT dv, Q ¦= - VvT-T°(v)+T' (v).
V О v
(14)
264 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
О
Заметив, что Т' = Т'т, а тензоры Т° и е сонаправлены, приходим к
соотношению
В - Вт= $ S S (о • Т°+Т° ¦ й)оЬ= J J J ["# (v) х T0(v)-f-T°(v) X (c)(v)]=0,
V V
приводимому, подобно (6.11.9), к виду
Ш [t°(v) •(c) (v) - и (v) /х (t°(v))] dv = 0. (15)
V
Используя равенство
T°(v) • (о (v) = -р0(о (v) -f 2ре (v) • (о (v), li (t°(v)) = - 3p0 +
2^/1(s(v))= - Зр0, можно придать этому условию также вид
$$$[ps(v).(o(v)+p0(o(v)]cfo = 0. (16)
§ 4. Удельная потенциальная энергия деформации несжимаемого упругого тела
Наиболее распространено задание э в форме двухконстантного потенциала
Муни
э = С, (Л (G)-3) + Ca (/2 (G) - 3) =
= Сг (vf- 3) -J- С2 (t-'j2с; \-\-v з - 3), (1)
представляемого также в соответствии с (3.3) в виде
з = Т^[(1+Р)(Л-3) + (1-Р)(/а-3)] (б^ + С^ц). (2)
Здесь р -модуль сдвига при малых деформациях, f> - подлежащая определению
постоянная. Упрощенной формой потенциала Муни
а = СЛ/г- 3) (Р= 1) (3)
является "неогуков" ьютенциал, иначе называемый потенциалом Трелоара по
имени автора, получившего это представление из рассмотрения
конструктивной модели резины, как системы связанных друг с другом длинных
молекулярных цепочек.
Необходимыми и достаточными условиями положительности э являются
неравенства
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА
265
Действительно, сумма трех положительных чисел v\, v\, vl произведение
которых равно 1, имеет минимум, когда эти числа равны и значит, каждое из
них равно 1. Итак,
vf + vl + vl - 3'^О, ог2 + г+2 + 1/3~2 - 3>0,
откуда следует, что (4)-достаточные условия положительности э, но они и
необходимы. Действительно, по крайней мере одна из постоянных, пусть С+
положительна. Приняв, что С2 < О, всегда можно было бы подобрать три
положительных числа о2, v\, vl с произведением равным единице, чтобы
выполнялось неравенство
С] - /2 '- 3 Vi 2-f t'2 + v3 2, n ^ о
I ^2 I /l 3 vt+vt+vl ' ^
Определяемые по потенциалу Муни тензоры напряжений Коши и Пиола равны
Т = - рЕ + 2 [(Сх + /ХС2) F - С2Р],
Р = Vr*• Т- {- pG--1 + 2 [(Сх + /ХС2) Е -C2G]} ¦ VR. (5)
Конечно, механические свойства многочисленных резиноподобных материалов,
весьма чувствительные к химическому составу и процессам их изготовления,
не могут быть описаны единственным потенциалом Муни. Существует большое
число других описаний, претендующих на лучшее совпадение с
экспериментальными данными в пределах тех или иных эксплуатационных
деформирований и температур.
Примером может служить потенциал Ривлина и Сондерса (Rivlin R. S.,
Saunders D. W., 1951), обнаруживших тщательными опытами зависимость
отношения от /2. Это дало
основание корректировать формулу Муни более общим соотношением
3 = C1(I1-3)+f(I2-S) (/>0). (6)
Основываясь на статистическом рассмотрении поведения молекулярных цепочек
с учетом ориентирующего влияния поля напряжений, Г. М. Бартенев и Т. Н.
Хазанович (1960) предложили потенциал
s = 2(i(t;1 + t>s + t;,-3) = 2(i/1(U), U = G1/s. (7)
Его экспериментально подтвержденное по широкой программе исследований
обобщение К. Ф. Черных и И. М. Шубиной (1976) представляется выражением
э = Р [(1 +P)(ui "К v2 - 3) + (1 (3) (l>i 1 + t>21 + v I - 3)] =
= u [(1 +13) Д (U) + (1 -Р) + (U-1)] - 6р. (8)
266
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Следует заметить, что более простой, чем для потенциалов Трелоара и Муни,
вид этой формулы даже усложняет применение этих потенциалов к решению
задач. Сославшись на (II.3.5),
(II.3.10), (7) имеем
РЕ = э0 = 2эс • VR = 4ц/х (U)o •'VR =
VR
= 2pU~1-VR = 2pOx (VR=U-0X),
так что
T? = 2pVRT-P? = 2pV=2pF1/s T = -/7E + 2PF1/,, (9)
тогда как для потенциала Трелоара T? = pF по (5); это упрощает его
использование, пока неизвестно представление F в главных осях.
§ 5. Плоская деформация несжимаемого материала
1. Векторы места г, R в отсчетной и актуальной конфигурациях задаются
в соответствии с (6.8.1)
r = b-|-i3a3, b = аЧ1 -f a2i2, R = B-f-i3m3,
B = i1x1-f i2x2, xs = ca3, (i)
причем с постоянно. Вводятся материальные координаты: ф, q2, пока не
