Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
связан со свойствами материала. Поэтому и для
§ 2]
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
259
несжимаемой среды этот принцип сохранит вид (4.16.8); когда р = Ро> Vg/G
- 1, он представляется соотношением
6
SSJ (9-p0k.R)dK-JSf.Rdo'
L V О,
¦ 0.
(13)
Но теперь при варьировании должно быть учтено наличие связи (1).
Варьируемому функционалу придается вид
W
(14)
причем вариации 8R связаны соотношением (12) и по (III.3.10) 6 Ш iР {/з~
1} dV = Ш рЕ" V6RT ^ = j J J [V ¦ (рЕ • SR) -
V V V
- Vp-8R]dI/=$$ Nj0-8RdO-JJJ Vp-6Rdl/ (15) о, * г
(8R = 0 на части поверхности 02, на которой заданы перемещения). Поэтому
6№? = 5SS SsdK-JJJ (p0k -Yp) ¦ 6R dK-JS (Np + f)-6RdO = 0.
Г У о,
(16)
Вместе с тем по (II.3.6), (4.3.4)
6 э=э0 •-6VRr = 2VR-3F- -VSRf.VR1- 2VRT-VR • эг • • V8RT =
VR
= 2F - Эр • • V8Rr - • -V6RT = V.(T?-6R)-(V-T?)-8R,
555 8sdI/ = 5S N-T?-6RdO-J5S V-Tzr6Rdl/
у о, г
и подстановка в (16) приводит к соотношению
(V-TB + p.k-Vp)).6RdR +
И
+ SS (N-T?-Np-f)-6RdO = 0. (17)
о,
Из него, как ожидалось, следуют уравнения равновесия (11). В базисе
отсчетной конфигурации, продолжив (15), имеем
у Р (73 - 1) dv--= j ^ pn-Yrr- 8Rdo - (Yr-Vp) ¦ 8R dv
9*
260
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
ч вместе с тем
Ш6аЛ,=Ша<* ¦ *б^т^=5И p?--fivRMw=
v v Vr v
= Ш [v.(P?-6R)-(v.pJ.fiR]dw =
JJ n-Pg-fiRdo-JJJ (vpJ-6Rdi;.
Поэтому при "мертвом" нагружении (idO - i°do)
"Ш (v-P?-Vp + p0k)-6R^ +
V
+ (п-Р? -pn-YrT -f°)-6Rdo = 0 (18)
"1
и уравнения равновесия в объеме и на поверхности отсчетной конфигурации
приводятся к виду
о о
VP? - Vp+pok = 0, f° = n • Р^-pn-Vrr. (19)
Конечно, можно получить их и непосредственным преобразо-
ванием уравнений (И). Действительно, по (2.6.2) тензор Пиола в
несжимаемой среде представляется выражением
P=Vrr-T = P?-VrTp (20)
и, сославшись на тождество Пиола (1.9.4), получаем соо о Лп00
V - Р = V - Р? -V • VrTp = V - Pf - • Vrr -- VP^ -Vp-VrT,
что и требуется.
Выражение принципа Гамильтона -Остроградского (гл. 4. § 19) для
несжимаемой среды следует дополнить слагаемым
-+ Щм/.-ОЛ',
V
преобразуемым далее согласно (15). Повторив вывод в (гл. 4. § 19)
приходим к представлению принципа выражением
h
\dt V/7-6RdK+5SpN-6RdO + 6'4(
Me)
V ~ о i
= 0. (21)
§3] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 261
Здесь -лагранжиан, равный разности кинетической и потенциальной энергий
системы
?? = 9С - И, ^=yjjjpv-vdV,
I/
П = Ш ИЛ, /2)-pok-R]dy-55f0-Rdo. (22)
V О i
Отдельным слагаемым в (21) представлена элементарная работа б'А{е) -
непотенциальных поверхностных сил
6' Л(е, = SJf-6RdO. (23)
о,
Следуя (15), можно записать (21) также в виде
ti
¦ 0 • (24)
§ 3. Эффекты второго порядка в несжимаемом упругом теле
I 0 I
При учете только квадратичных по J Vu | слагаемых уравнение связи (2.1)
по (6.10.3) выражается соотношением
00 1 f° \
$+-92+(o-(o-у/Л?2; = о (1)
и поэтому
I, (F) - 3 = /, (F) - 3 - 2/j (е2) + 2D2. (2)
Инварианты Ilt /2, значит и коэффициенты фг уравнения состояния,
отличаются от их значений в отсчетной конфигурации членами второго
порядка.
Уравнение состояния (2.4) после замены мер деформации по формулам (гл. 6,
§ 10) приводятся к виду
Т = - рЕ + 4 (фх + 2ф2) е (и) + 4 (фх + 2ф2) VuT • Vu + 8ф2?2 (и) =
= - рЕ + 4 (ф1 + 2ф2)°е(и) + 4 (фх + 2ф2)0 VuT-Vu-f 8фЦ?2 (и),
так как при принятой точности нет нужды учитывать отличие коэффициентов
фг от их значений в отсчетной конфигурации. Обратившись теперь к
(6.10.6), имеем
/,h_L9,hV> -1.......о аз°
262
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
ГГЛ. 7
и уравнение состояния с учетом всех слагаемых второго порядка приводятся
к виду
О 0 0 , д > О О
Т = - /?E+2pe(u)+2pVu-VuT - 8 ?2(и). (4)
В линейном приближении (р0-давление в этом приближении) Т = Т° (и) = -
р0Е + 2ре (и) (5)
и это соотношение должно рассматриваться совместно с уравнением связи
Ь = 1Х (е) =V-u = 0. (6)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности по (2.11) записываются в
виде
p.V2u + p0k - Vp, п • Т° (и) = - пр0 + 2рп • е (и) = f, (7)
так как
00 .0/0 0 \ 1/0 00 \ ,0 V-? = yV-Vvu + VuT/) = ^l4V2u + VV- uj=^-V2 (и).
Уравнение движения в объеме и уравнение связи повторяют линеаризированные
уравнения медленных стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости
Навье -Стокса; отличие заключается в краевых условных.
Введя, подобно (6.11.1), в рассмотрение корректирующий вектор w, можно
представить с требуемой точностью тензор напряжений в виде
Т = Т° (v) + T° (w) + T' (v),
о О / 3 О \0 0
г (v) = 2pVvT-Vv-8(^-J e2(v), (8)
причем здесь
T°(w) = - p1E + 2p.s(w), р --ра + рг. (9)
Требуется еще заметить, что
о
N dO = n- VrTdo = n- (Е - VuT) do ж n- - VuTy do ,
о
так как VtC отличается от Уит слагаемым второго порядка по (1.3.9)
0 0 о
VuTVuTVrT-- Vur-(E - VuT) да VuT.
§3] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 263
Уравнение равновесия на поверхности может быть записано теперь в виде
N-TdO- (п - п- VvT) -Т° (v) do-f n-T° (w) do+ n-T' (v) do =
о
= [n. to (V) + n • T° (w) -f n • T' (v) - n • VvT • T° (v) ] do = f dO
и краевое условие для корректирующего вектора w представляется по (7)
