Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
10]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
229
ратичное слагаемые. Остается дать представление / рядом с точностью до
квадратичных слагаемых
/ = /° + 2(6 + о>-а>)
, J- + 2-L + -
l\dll r dl^ dh
']•+
+2^[{w2 + W3 )f_
д2} \в-
+4 Г(Л -3)' (!?)' + • • • + 2<Л - о <л -з) №>-ал
= 4 (" + "¦")+т/> (еа) + 2 /, (в'
2
+ 262
a/2 + a/~) f
+
д2
77? + 4 772+ 4
а2
dll
dh dh Ql
д2 f4 32
а2
а/2 а/.
д1лд1
+
% q - А, / = 7Г$ + тг (
а/:
+2+(++2++,+
Искомому представлению тензора напряжений Коши придается теперь вид
Т=(1-6) Т° + 2?.Т° + Т',
Т' = Е {л(в).(в + 4/х
г2) +4U2 - UW
dh ^ dh) 1
+
+ Л62| + 8э§е2+5e6 + pVut-Vu, (7)
В - -8 (э12 -1~э3 + э13 -f- Зэ23 +э33)°.
(8)
Например, для материала Мурнагана при задании f по (5.3.8) и удельной
потенциальной энергии э по (5.3.2) получаем
причем А = 4
А + 2 -4-~Yf
dh^ dh^dlj
A*=l, 4
- + -)f
dl2 dh'
¦¦-m-f-5-, 5 = -п+2/п, 8эз=п
и тензор напряжений представляется выражением
Т' == Е
Т = (1-т-Ф) Т0 + 2?-Т°+Т',
(<"•<*>+4+ М)-(т-т) (^2-7i (е2))+^2
+
-fne2+(2m-п) e$ + pVuT-Vu. (9)
230 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 0
При переходе к тензору Пиола в формуле (2.7.2) достаточно принять
/з/г= 1 VrT = V (R - u)T= Е-VuT,
о о
так как Т° в (8) линейно выражается через Vu, a VuT"VuT, l'J* = 1 -f й в
линейном приближении. Получаем
Р = /'/!VrT.T = (1 -j-ф) (е - VuT)•Т = Т° +Vu-T° + T'. (10)
Только в линейном приближении тензоры Пиола и Коши совпадают. Учет
слагаемых второго порядка требует их различения. Уравнения равновесия в
объеме и на поверхности должны быть записаны в виде
V.P + Pok = 0, n-P=f§, (И)
причем, учитывая слагаемые первого порядка, по (1.8.7) имеем §= ]/
|(n.VrT.Vr.n)V2=(l+T) [n- (е + Vut) •
( о \ Т/2 Г о у/2
•^E + VuJ-nJ = (1+0) |_l-f2n-e(u)-nj -
так что
^-= 1 + & + п-е(и)-п. (12)
§ 11. Эффекты второго порядка. Построение решения
Исходим из уравнений равновесия (10.11) в объеме и на поверхности через
тензор Пиола, определяемый выражением
(10.10). Поверхностные силы предполагаются "мертвыми".
Вектор перемещения представляется суммой двух векторов
u = v + w, (1)
в которой V -предполагаемое известным решение линейной задачи
V.T° + p0k = 0, n-T° = f°, (2)
а корректирующий вектор w вносится, чтобы компенсировать
о
слагаемое второй степени относительно компонент Vv, которые
войдут в (10.11). Тензор Т°-линейный оператор над и
Т° (и) = Т° (v)+T° (w)
§ц] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 231
и поэтому
Vu.T°(u) =(vv + Vw)-(T°(v) + T°(w))" Vv-T°(v), (3)
Т' (u) " Т' (v)
- неучтенные слагаемые имеют по крайней мере третий порядок малости. Имея
в виду (2), теперь можно преобразовать уравнения равновесия (10.11) в
объеме и на поверхности к виду
V-T°(w) + p0kx = 0, n-T°(w) = fx, (4)
в котором играющие роль массовых и поверхностных сил векторы кх и fx
представляют операторы над v второй степени о
относительно Vv
кх = V - (vv-T° (v) + T' (v)), fx = - n - (vv-T° (v) + T' (v)). (5)
Известно, что необходимым условием существования решения краевой задачи
(4) является статическая эквивалентность нулю этой системы сил.
Непосредственно повторяется равенство нулю ее главного вектора.
Действительно,
5 5 J p0kx dv = J 5 5 V • ( Vv • Т° (v) + Г (у)) dv =
V V
= 5S n - (VvT0 (v) -г Т' (v))do= -55 fxdo,
О О
что и требуется. По (2.3.8) остается выразить условие симметричности
силового тензора. По (2.1.16) и теореме Гаусса - Остроградского
В = 555 Pokxrcfo -55 n-(vv-T° (v)-f-T' (v)) rdo -
= 555 Pokxr^ - S5S [v-(vv-T° (v) + T' (v))]rdo-
V V
~ 555 r5,^Vv'T° (у)+т' (y)) rsdv=
V
=~~ 555 [Vv,t°(v)+t'(v)] dv¦
V
Использовано представление дивергенций тензора третьего ранга
V-Qr=(v.Q)r + r*.Qr, = (v.Q)r-fCT,
232 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Итак,
в=-Ш[^-т° (v)+t"]t dv,
BT=-J5J [vv-T0(v) + T'(v)]^. ()
V
0 0 0 0
После замены Vv = e(v) - fi(v) (e (v)-линейный тензор дефор-
o
мации над v, Q(v) - тензор вихря этого вектора) силовой тензор
преобразуется к виду
В=- S И [(r) м •т° м+т° и • й (v)+т' (у)]dv-
° о о (?)
вт= - SH [е(у)*т° (у) -" (V)-Т° (V) + Т' (v)] dv,
V
0
так как тензоры e(v), T°(v), Т'(v) симметричны по их определениям (10.1),
(10.7). Условию симметричности силового тензора теперь придается вид
Вт= В: (тв.П + П.Т°)&> = -SSS (т°Хю + юхТ°)йу=0,
V V
(8)
о о
причем о) - сопутствующий й вектор. Сопутствующий же кососимметричному
тензору под знаком интеграла вектор по (1.14.17) равен
- Те" (Т°Х(Й + <*>ХТ0)= - уб- ¦г0ип<в* (гиг"хг5-г"хг/и) =
= t0mn<i>srm X (г" X г,) = (Г"ги • Г, - г,ги ¦ Г") =
о о = Т0, <й- (д/j (Т°),
так как е - -ab= bxa, tmnrm-rn = I1 (Т). Условию (8) придается вид [т°
(v)-m (v) - <"(v)a]du = 0, a = /1(T°(v)) (9)
V
- таково необходимое условие существования решения задачи (2). Ему можно
удовлетворить, вспомнив, что линейная задача (2) для вектора v решается с
точностью до аддитивного слагаемого,
о
выражающего перемещение твердого тела v = v0-f и0хг, а для о j о о
ректора (0=2-Vxv-с точностью до постоянного слагаемого wr
