Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
дх(r)
+ 2piaip-^r + i3i3p33; (14)
p33 = l(q + c - 3) + 2р(с- 1), р3
¦ 0.
В рассмотрение вводятся представления компонент ра(r), подобные формулам
Колосова - Мусхелишвили линейной теории
р1 + ip12 = ф (q) О* + 2pi - ,
. дг
pn-ipn-.
dz
= Ф(<7)е -2р^г
(15)
i. -
218 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем
ф (q) = {I + 2р) (q - 2) -f- 2(х + А, (с - 1)=-=
= (Я + 2р) (16)
Уравнения статики при отсутствии массовых сил
др11 др21 п др12 др22 _ " Зр23
За1 да2 ' да1 За2 ' За3
теперь преобразуются к виду
(рп +1>") + i _оL (/?22 _ ifl) = (q) eix +
+ 2pi I --^-Д-_------------------|
d2z 32г
да1 За2 За2 да' j '
так что
3
-=- гр (<7) е1% = 0, р33-=р33(аг, а2). (17)
Первое соотношение содержит основной результат -выражение гр ((7) etx
представляет функцию комплексного переменного *, обозначаемую далее
ф(<7)е'* = Ф'(а ^ = (18)
Это и дало основание назвать "полулинейный" материал "гармоническим"
(John, 1960).
3. Краевая задача. Связь между функциями z (?, ?) и Ф' (?)
устанавливается соотношением
Q дг __ Ф' (g) 1 - v(c-1) Ф' (?) ,л,
"3? K + 2Vl'T 1-v |Ф'(?)Г 1
следующим из формул (12), (16).
Уравнения равновесия на боковой поверхности призматического тела
записываются в виде
idO = n-Pdo, h^- = n1p11 + ntpil, f2^- = ihp21 + n2p22-
Здесь flt f2 - проекции поверхностной силы на оси а1, а2; конечно, в
плоской задаче fa - 0 на боковой поверхности. Введя комплексные векторы
г . .? г . . da2 . da1 . dt
h + th = f, 'ч+"1. = я=-аг-'-*=-'-&.
где ds - элемент дуги контура I поперечного сечения в отсчегнои
конфигурации, и обратившись к (15), (18), получим
,? dO . г dS r 0 dz /901
г
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
219
Через d.S обозначается элемент дуги контура L, в который обращается в
актуальной конфигурации контур /; очевидно, что
dO^dScda3, do - dsda3.
Главный вектор V поверхностных сил на дуге ЛйоМ теперь определяется
равенством
S м м
icV = UdS= S Ф'(?)^? -2|a J dz--=
Sq Mq
= Ф(д-Ф(У-2р[га, S)-z(S0, У]. (21)
При действии равномерно распределенного по боковой поверхности давления р
на I
Тензор напряжений Коши Т по (2.7.3), учитывая обозначение (6),
представляется выражением
Нормальное напряжение в поперечном сечении а3 = const определяется
выражением
огУ G=--р33, а3 dO = р33 do = [А, (<7 - 2) + (^ + 2р) (с- 1)] do, (24)
так как определитель Y G преобразования плоской области а3 = = const в
плоскую область z3 = const равен отношению элементарных площадок dO/do.
Продольная сила в рассматриваемом теле оказывается равной
55 a3dO= p33do = I 5 5 (q -2)do + (l + 2\x) (ct - 1)Q0, (25)
a о"
пРичем Q0 - площадь поперечного сечения в отсчетной конфигурации.
Возвращаясь к (23), имеем
f = - pN = pi-, icV = - cp(z - z0), Ф (?)--= (2ц - cp)z{l, ?) + const.
(22)
и после вычисления, в котором используются формулы (15), (6), п°лучаем
c(cr]-fa2) + 4p^^i|) . (26)
(26)
220 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. г,
Это -первая формула Колосова - Мусхелишвили. Второй определяется
выражение
a2-a1-2tT11 = i2-T-i1-i1-T-i1-t (ix-Т*i2-J-12-Т• ix) =
1
:V G
дх2 "о дх1 . ( дх1 2 дх2
а?"
и после вычисления, в котором используются формулы (15), получаем
с (с, - о. - 2,'т") - - 1- (?)<•" (-?- + "' ~) -
4 !);((/) dz dz
KG q dt dt
(27)
Возвращаясь к представлению (20) силы f, составим выражения ее нормальной
fN и касательной fs компонент на дуге!. Обозначив N, S единичные векторы
нормали и касательной этой дуги, имеем
/n = N ¦ f, fs=S-f; 5 = (28)
Скалярное произведение двух векторов выражается через их комплексные
представления формулой
a-b = 4j- (ab + ab).
Заменив теперь в (28) силу f ее выражением (20), придем к формулам
Ь-т(/#+7?) = -тИ(r)'<9§#-ф'<С)5^
(30)
Напомним, что \dz\=dS, \dt,\ = ds.
Замечания. 1. В задаче о плоском напряженном состоянии рассматривается
деформирование тонкой пластинки (толщины 2/г0)> нагруженной по ее боковой
поверхности силами, параллельными ее средней плоскости а3 = 0 и
симметрично распределенными относительно нее. Торцевые поверхности a3 = +
h0 не нагружены. Такое состояние приближенно осуществляется при
преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, определяемом
формулами
ха = ха(а1, а2), х3~с(а1, а2)а3 (\а3\^Ю
при пренебрежении слагаемыми порядка hi, если довольствоваться
рассмотрением средних по толщине пластинки компонент ра
j?j ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 221
тензора Пиола; средние значения ра3, р3а оказываются равными нулю, а
функция с (а1, а2) определяется условием обращения в нуль р33.
Действительно, по (31)
. . дх1 . . дх13 ... дс .
VR = Ь'( ТТ = '"'Р 1Г^а + 1з'зс-
да5 да да
так что
^ v7Dr • • / д*7 дху ,,s дс дс\
°"VR'VR-"'4^-sr+" i^u)+
7 Я3 0о4з "Ь ^ а W
да
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равным
п 1 (' п л з • • ( дх*1 дх7 1 , , дс дс \ ... "
h0
hQ
так как J a3da3 = 0. Пренебрегая слагаемым с множителем hi, -л"
приходим к выражению G, повторяющему (3), и для средних значений всех
величин сохраняются найденные выше соотношения (отбрасываем знак ~ над их
