Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 529

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 523 524 525 526 527 528 < 529 > 530 531 532 533 534 535 .. 942 >> Следующая

записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или
представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации
требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями
и напряжениями в конкретном материале.
При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже
неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый
доступный прием -построение решений, близких к решениям линейной теории и
обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени
относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает
возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере
деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях
или применение вариационных принципов допускают сведение" задачи к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К числу таких "доступных" материалов принадлежит "полулинейный" (гл. 5, §
5); особенно ценным оказывается свойство обратимости его уравнения
состояния с помощью принципа стационарности дополнительной работы.
Задачи, относящиеся к полулинейному материалу, рассмотрены в §§ 6-8.
1. Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное
нагружение^осуществляется равномерно распределенными по внутренней*'и
наружной поверхностям цилиндра (r = r0, г = г1) давлениями рй, рг.
Материальными координатами служат цилиндрические г, <р, г в отсчетной
конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять1 радиальное
перемещение зависящим только от г, а осевое - линейной функцией с. Место
точки в актуальной конфигурации определяется выражением
R = erf (г) -f-kaz.
По формулам III, § 7, в частности, (III.7.17), имеем
(1)
Ri = e/(r), ^2-=еф/(г), R3 = ak;
ri = г1 = ег, г2 = геф, г2 = , r3 = r3=k,
о
VR = riRJf = ere/ (г) + yf{r) ефеф + кка = VRT,
(3)
G = F = ererf'* (г) Д ефеф-^1-fkka2.
16]
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
207
Тензоры G и F соосны, и для полулинейного материала уравнения равновесия
в объеме и на поверхности по (5.5.16) приводятся к виду
/' " ( dO '
о-о ° J v do
dO
V2u--=0, ЯеДД u Д 2per- Vu так как
o>
I.
do
r = r
r = rt,
(4)
f = erp0 при r = r0;
f = - erp1 при
¦гл.
Понадобятся представления физических компонент тензора напряжения Т через
его контравариантные компоненты, а также формулы связи последних с
компонентами тензора Пиола при преобразовании (1). Имеем
Т = RjRi/11 Д RgR^2* Д R3IV33 = еге/V1 +
Д ефеф/2/22 Д кка2Д3 = aRtReR Д афефф Д а2егег
(недиагональные элементы в рассматриваемых здесь задачах, согласно (3),
отсутствуют). Но направления единичных векторов при преобразованиях (2)
сохраняются: ей=ег, еф = еф, к = е2. Поэтому
ок=Г*Р\ Оф-/Д22, <хг = аД33. (5)
Теперь по (2.7.3) и (5.5.5)
Т= ]/-?- VRT-[X(V-R-3) Е Д2р (VR - Е)] =
= lk{ [Л +7 + а)-(ЗЯ+2Е) (/'ДД Д-?-ефефДакк) Д
+ 2р (/'2еГеГ + -^- ефеф Д а2кк j | ,
так что
а 0Ф: <*z
а/
1
Та г
TJ
о
^ ij' "Ь-у "Ь Д - (ЗЯ Д 2р) ^ (V Д-р-Да) Д2р-р-(ЗЯд2р) X (/' д1да) Д 2ра
- (ЗЯ Д 2р.)
(6)
о о
Но Vr=E, V2r = V-Vr=0 и поэтому
V2u = V2R = V2 (erf (г) Д kaz) = er ( f Д -f ^-
= 0,
Г + 7 = 2СД f = Cir + ^f
(7)
208
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Г,
и выражения компонент тензора напряжений приводятся к виду
az - -pj[X (2С1 Да) Д 2ра- (ЗА Д 2р)].
Из последнего выражения находим выражение продольной силы Q, которую
следует приложить к торцам стержня, чтобы осуществлялось рассматриваемое
равновесное состояние
Два других следуют из краевых условий (4) на цилиндри-
k(2C1 + a)+2ii(^C1~^ = ~p1 ^С1 + ^а + ЗЯ + 2ц. (И)
Краевое условие на торце удовлетворено интегрально, в "смысле Сен-
Венана". Этим приходится ограничиваться и в линейной теории.
Для цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами,
а= 1 (длина неизменна). Приняв, что внутреннее давление отсутствует (р0 -
0, р1 = р), получим
Таково выражение внутреннего радиуса сжатого наружным давлением цилиндра.
Сохранив лишь первую степень малой величины р'(2р), придем к выражению
классической задачи Ляме
(Сй + СУ/Да
1
A (2Ci Дя) Д2р (ЗАд2р) ,
A(2Cj Да) Д2р + у (ЗАД2р) , (8)
Q = 2я ^ azR dR = 2л ^ azf (г) f (г) dr
= я (г\ - ) [А. (2Сг Д а) Д 2ра - (ЗА. Д 2р)]. Это - одно из уравнений
для трех констант СД С2, а
A (2Cj Да) Д 2ра - --гГ Д ЗА Д 2р.
л Vi -гй)
(9)
" dO / (/•)
UPPKHY TTHRP П YHflPTfl Y ()HM РР.ПИ VUPPTK UTD -------------------------
----------------- - Cl, -¦ v ' ПП11-
(13)
§ б! ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЁ 209
2. Радиально симметричная деформация полой сферы. Нагружение
осуществляется равномерно распределенными давлениями р0, рг по внутренней
г = г0 и наружной г - гг поверхностям сферы. Материальными служат
сферические координаты г, Ф, К частицы в отсчетной натуральной
конфигурации; сферические координаты при радиально симметричной
деформации в актуальной конфигурации обозначаются R = f(r), 0 = {}, А=Я.
Векторные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются
Предыдущая << 1 .. 523 524 525 526 527 528 < 529 > 530 531 532 533 534 535 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed