Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
бы отрицательными.
Первое из условий (3) выполняется со знаком равенства. Имеем вместе с тем
по сказанному
/ 2??-д.I - = _LVr '2 д/2 ' 3 д!3 16 у 3
(Я + (i) -j 2 (ЗА, + р) -f- + 9Я + 2(1
/3 '3 ¦ .
- у (з +р) > О (5)
в противоречие с третьим неравенством. Это делает сомнительным
пригодность эмпирического критерия (3), но не материала Синьорини.
б) Для материала Блейтца и Ко в упрощенном варианте (6.3)
дэ v. а г дэ 1 12 ^ г\ г дэ . т дз 1 1 г j . г\
"377 2171= Т ^ 77 ^ ' 2W7 + 3 а77 = 2+тЛ >°
- третий критерий (3) также не соблюден. Вместе с тем по (10.10) и (6.5)
условия (10.14) приводятся к неравенствам
1 , 1 ^ 2 1,1^2 112 /с,
т + ->-тВД3. - + - >-oViV2V3, - + - >TUiU2t>3. (6)
Ul V3 3 У2 v3 Ч Уз У! У
очевидно, соблюдающимся в кубе vs ;+ 1,25.
в) Малонадежны и противоречивы суждения о пригодности или
непригодности эмпирических критериев для материала Мурнагана. По (3.2)
4^==(/i-3)^+2p(/1-l) + -^/(/1-3)2+m(/12-2/1-/2)+f,
а дэ п п , г ох . дэ п
4 аТ^-Зр-/*(/,-3), 4а77=Т
и критерии (3) в натуральной конфигурации приводят к неравенствам
411 + > 0, 4[1 + я<0, 6р + п > 0,
или (при р>0)
Для двух сортов стали "Нес1а" по акустическим измерениям (R. Т. Smith, R.
Stern, R. W. Stephens, 1966) были получены Данные (в 1012 дин/см2)
Hecla 37 Я = 1,11+0,01, р = 0,821 ±0,005, / = -4,61+0,65, /п =-6,36+0,46,
п-=-7,08+0,32,
188 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. Я
Hecla 17 А. = 1,10^=0,01, р = 0,820+0,005, / = -3,28+0,30, т = -
5,95+0,32, п - -6,68+0,24.
По ним трудно высказать суждение о выполнении или невыполнении критериев
(3).
§ 12. Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации
Критерий монотонности Колемана -Нолла можно связать со свойством
выпуклости удельной потенциальной энергии деформации э, как функции
инвариантов Ik (G) меры деформации Коши -Грина или Фингера.
Для разъяснения понятия выпуклости нам достаточно ограничиться
рассмотрением дважды непрерывно дифференцируемой функции JF (х)\ она
выпукла (книзу), если ее первая производная- монотонно возрастающая
функция f(x). Введя параметр тс[0, 1] и приняв
х(т) = х0 + т(х1 - х0), (1)
по (9.1) имеем
[/ (*") - f (*<.)][* (т)-х0] = т(х1-х0) [/ (х (т)) - f(x0)] > 0,
= ТАГ(л:' - *•> "f (т" ' {2}
Из этих равенств следует
(*' т) ^ ^ _ j^o) = 1 [/ (х (т)) - f (*")] (х (т) -х0) (3)
и интегрирование по т позволяет представить выпуклую функ-
цию через монотонно возрастающую производную
1
F(Xi)- F(*o)- f (х0) (х, -x0) = ^[f(x(T)) - f(xe)](x(T:)-xa). (4)
о
Для функции тензорного аргумента этому определению сопоставляется
соотношение
э (vRx) -э (vr) - Р (vr) • • (vrtX - VRT) =
= j 7 [p ( YR (T)) -P (vr)] ¦ • [vRT (T)-Vr]> 0, (5)
о
причем здесь по (1)
О О /О о \
VR(t) = VR + t(4VRX-VrJ, (6)
§ 12] ВЫПУКЛОСТЬ УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 189
а условию хх - х0 > 0, входившему в определение монотонно воз-
о о
растающей функции, сопоставляется требование VRX = VR-S, S = ST -
положительный тензор.
о о
Поменяв в (5) VR и VRX местами, по (5) получим
s(?r)-3 (vrx) > p(vRx). .(VRT-VRTX) (7)
и сложение неравенств (5) и (7) приводит к первоначальной формулировке
(9.4) критерия монотонности.
/о о
Если отсчетная конфигурация натуральна yVR -Е, VRX = S то по (5)
з (S) > з (Е) (8)
- в натуральном состоянии удельная потенциальная энергия минимальна. Это
уже было выражено неравенством (10.13), определяющим выпуклость дважды
дифференцируемой функции.
Еще одно представление критерия монотонности можно получить,
заменив в (9.4) тензор Пиола его выражением через удель-
ную потенциальную энергию деформации s(vr).
Следуя (10.1), полагаем
VRX VR-S - VR-(E + r]D).
причем т) - малый параметр. Сославшись теперь на разложение
э yVR-f-riVR-Dj = э yVRy -)-э0 ••rjD-VRT-|-
VR
+ |VD-VRT--a0 0 • D • VRT -f ... - a (vr) -j-
VR VR
+ T]VRT P. D + ^ tfD VRT PQ ¦ • D • VRr + . . ., (9)
VR
получим ранее известное соотношение (10.3)
d (0 0
A-^vr + ^vr.d
0 стг - - VRr • V - Vr ' T D
T|=0 r g
= /ЛТ-D). (10)
Вместе с тем
_ 7 0 \ / ° 0 л / о \ о
Р VVRxJ -р( VR + 'nVR.D/)^Pl4VRj + r]D-VRT--P0
VR
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ.
так что по (9)
[р (#RX) - р (vr)]. (vRxr_ vrO}
Г| = О
d*_
dr)2
э ( VR -j- T|VR -d)
T| = 0
Критерий монотонности (9.4) представляется неравенством
§ 13. Дополнительные неравенства нелинейной теории
Выводы, получаемые из рассмотрения условий эллиптичности уравнений
равновесия (гл. 4 § 12) и монотонности напряженного состояния, позволяют
сформулировать некоторые частные критерии ("дополнительные неравенства"),
согласуемые с ожидаемыми свойствами напряженного состояния в упругой
изотропной среде.
1. S'S-, -неравенства (tension-extension, extension-tension).
Пусть два из трех главных удлинений сохраняют в сравниваемом состоянию
значения, которые они имели в актуальном состоянии. По (9.7) приходим к
^^-неравенствам для главных сил
Такие же неравенства выполняются для главных напряжений
Первая система уравнений однозначно разрешима относительно
