Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 523

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 517 518 519 520 521 522 < 523 > 524 525 526 527 528 529 .. 942 >> Следующая

- использовано правило переставимости x<tPst = xPQts и симметричность D.
Неравенство (6) приведено к виду
= 4 [/г (D) /, (D • Т) - Ix (D2 • Т)] + х"р-" DpqDsmgmnGni > 0
с заменой ^ на > для усиленного критерия.
В ортонормированном базисе главных направлений тензоров Т и F
TV F V 2 т" / m==n'
F = /j vseses4, gan= \ n
s = i s - i \ 0, тфп,
( 1, n = t, 3 3 ()
Gnt ) П n -A- t ^ ^ ^ ^Safis^m
^ U, n=f=t, s = l m=l
и поэтому
3 3 3 3
/1(D)/i(D-T)-/1(D2-T)= S D** S 2 or, 2 Df* =
Ass 1 s= 1 s= 1 A- 1
= (tf 1 + tf2) (DuDa, - Dfa) + (a2 + CT3) (D22D33 - D|3) +
+ (tf3 + tfi) (D"Dn - Ни)-
Во вторую группу в (7) войдут слагаемые, соответствующие неравным нулю
12-компонентам (4.8.9), (4.8.10) тензора упругостей TF
%D'^+D'Mvi^r+vi^)+
+ Р.А, (V, $ + *%) + D"D" (vl |T+ ":^f) +
+ П12Ц=Ц (Vj + Vt) + Dl (vl + vt) + Db (vl + Vl).
Vl V% У2' -V3 ^3 -
Квадратичная форма (6) шести переменных
ОSS ¦ %S> S 1,2,3, Х4 = ^12" -^5 = ^23" = 0.1
it
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
теперь может быть записана в виде
Id- в-• d =
*sys + Лт*2
S = 1
dvs -|- хгхъ
+ х3х1
+ х!
+ ХI
до2
1 д 2 dv 1
дая
dv\
да2
dvt
+ +°а)
dv-, *
+ "o' (а2 + аз)
+
' , tJcjj " да3 1 , ,
уз уг + yi ~ТТ + "о" (аз + ^i)
ovs avi z
gl -g2
2 2 t>l -1>2
(Vi + t"l) - -к-К + а2)
+
<72- (7з 2 2 , ^2 - ^3
l(vl + vj)-T(o2+o3)
+ xe
0Я-012(1>з2 + ^)-4
(CTg +0^
(9)
В. этой записи главные напряжения заменим далее главными силами
2_й?2. = _1 а /2 _ i / i
1 2 1 дгд Р3Р1 2 V Рз 5^1 2
.л двг , 1 I п Ч _ I (dh ди
Ul^f + U2^r+2-( ,+ 2) 2^3 Ui + <b2/
1 д2э , / е д2з
= Yi^>
vs dvi dv2 V G 1 2 dvx dv2 '
= jLii_=±
1 Hr)? 2 1 дгц t)2c>3 2 V G 1 dp2
и т. д. При обозначениях
**=1//"'§"ил (s = 1,2,3),
1 <10)
^i==-i-!(yf+v!)-TrK+tf2) и т- Д-
Vi -v%
приходим к рассмотрению квадратичной формы
з з
Ф = x'sx'k~Y ^1X4 + Аьх1-\- Аех2в. (11)
z s=i*=1
КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ
185
Образующая ее матрица имеет структуру
д"э
дгз
db
dv\ dvi dv2 dvx dv3
db db db
dv2 диг dvi dv2 dv3
db db db
dv3 dvx dv3 dv2 dvi
О
О
Аг
(12)
и условие положительной знакоопределенности формы (10), т. е. усиленный
критерий монотонности, соблюдается при выполнении условий
<Э2э \2 ^ г,
> 0 и т. д.
а2э dvI
. " d(b д2э
, 2 , 2 dvx dv2
(let
db
dvi dv2 >0,
dvsdvh{
повторяющих (9.10), и условий
Ат > 0, Г = 1,2,3.
В другой записи неравенствам (14) придается вид
{vl + _ 1 (CTe + Gb) > 0>
гаЬ '
гЬа '
va~
(13)
(14)
(15)
причем а, 6=1, 2, 3 и афЬ.
После тождественных преобразований, в которых отбрасываются некоторые
положительные множители, (15) заменяется ему эквивалентным неравенством
(va - РЬ) К - аь) > -"~"*Г-(Ра + Р") (1б)
причем его левая часть положительна при выполнении ВЕ-кря-териев
(4.12.12), а в правой аь заменимо по (15) на ста. Достаточным условием
выполнимости этого равенства является наличие в паре (са, аь) хотя бы
одной неположительной величины.
Все три неравенства (14) выполняются поэтому при наличии в каждой из пар
(с^, а2), (а2, ст3), (а3, ах) хотя бы одной неположительной величины,
иначе говоря, все неравенства заведомо выполняются, если при выполнении
.(c)(^-критериев два из трех главных напряжений неположительны.
Подобное же рассмотрение для главных сил приводит к неравенствам
(Уд - Ч)*
(va-vb) (K-h)>-h
Vg(Vl + 3 vl)
(афЬ).
(17)
ь.
186 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
В гл. 5, § 13 выводится неравенство упорядоченных сил (бэГ "ordered
forces")
(va - vb) (ta - tb) > 0 {афЬ). (18)
При соблюдении этого критерия достаточным условием выполнимости
неравенства (17) является наличие в паре (ta, ib) хотя бы одной
отрицательной величины - из трех главных сил по крайней мере две
неотрицательны.
Знаки главных напряжений и главных сил одинаковы, и поэтому всегда
реализуется или неположительность, или неотрицательность двух из трех
главных напряжений.
Итак, одновременное выполнение !В<В- и 6<f-критериев характеризует
выполнение всех неравенств (14). Обратное заключение не имеет, конечно,
места.
§11. Эмпирический критерий
Основываясь на уравнении состояния
непосредственно получаемом после замены F3 (4.2.4) с помощью тождества
Гамильтона - Кейли (1.9.22), можно неравенствам (10.14) придать вид
2
М+"8(|; + З^Н/г|А + /,^)>0 "т.д. (2)
Выполнение всех трех равенств гарантируется соблюдением условий
,4т-> 0, !г>°> + (3)
dli d/2 2 d/2 3 d/3
называемых "эмпирическими критериями". Конечно, это только достаточные,
но не необходимые условия выполнимости неравенств (10.14).
а) Для упрощенного (две постоянных) материала Синьорини по (2.12)
э={К7;[9^ + 5р-2(3^ + р)^ + (Я + р)(А)2'|; (4)
величина в квадратных скобках, равная р в натуральном состоянии, остается
положительной при р>0 и при любых /2//3. Это следует из неравенств (2.14)
и условия знакоопределенности
(9Я-(-5р) (Я-f-p) - (ЗЯ-Ьр)2 = 4р (2ЯДр) > О, 2Я-f-p > О,
§11] ЭМПИРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ 187
так как при 2А. + р < 0 имели бы одновременно ЗА. + |Ш < 0, а ^ + р>0 для
значений v в интервале (2.16); корни 12/13 величины в скобках оказались
Предыдущая << 1 .. 517 518 519 520 521 522 < 523 > 524 525 526 527 528 529 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed