Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
В работе Ноулса и Стернберга доказано, что матрица тензора Q
удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра при всех N для
деформированных состояний, в которых
2-КЗ< ?<2+КЗ. (16)
vi
В этой области деформирований материал - сильно эллиптический.
Не лишено интереса рассмотрение другого варианта материала Блейтца и Ко,
соответствующего заданию (3=1 в (1)
Тензоры Пиола и Коши для этого "гипотетического" материала представляются
выражениями
Р = э0 =p(vR-/3-"VrT), Т = р/з 1/г (F - Е/^") (18)
VR
и в линейном приближении приводят к уравнениям состояния линейной теории
°s ~ ^ + 2рл, s= 1,2,3. (19)
По (4.3.5) и (4.5.5) неравными нулю оказываются лишь
^о=- jVsa, ^1 = 4^' ^oo=-jFa/3_"
и по (4.11.16) представлению акустического тензора придается вид
Q=j|i[EN.F-N + (2a+l)/,-"NN]. (20)
172 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
При -1/2<а<оо, что соответствует -oo<v<l/2, det Q удовлетворяет всем
условиям теоремы Сильвестра для всех N и всех положительных тензоров F-
при любых деформациях; система уравнений для "гипотетического" материала
- сильно эллиптическая.
§ 7. Энергия изменения объема и изменения формы
В. А. Пальмову (1976) принадлежит обобщение известного в линейной теории
представления удельной потенциальной энергии суммой двух слагаемых,
определяющих энергию изменения объема и "формоизменения".
Исходной предпосылкой, определившей успех этого предложения, послужила
замена мер, деформации Коши -Грина и Фингера мерами
G+ = /3-V3G, F+ = /-^F (/3 = /3(G) = /,(F)). (1)
Главные значения этих тензоров в соответствии с этим определением равны
Gt = Ft = It'/sGk = It'uFk {Gk = Fk - v%, k=\, 2, 3) (2)
и поэтому их третий инвариант оказывается равным 1 - они
"нечувствительны" к изменению объема
/3 (G+) = /3 (F+) = GiGtGt = (/3 ,/з)3 GjG2G3 = 1. (.:•)
Аналогичные соотношения для меры Альманзи g и меры G-' представляются
выражениями
g+ = /;/3g, (G-i)+ = /,3/*G-i = (/i)-*/.G-1, /i=/,(g) = /,-K (4)
Удельная потенциальная энергия деформации э далее представляется суммой
энергии изменения объема эг и энергии формоизменения э,,
э=э, + эп, 3j = э,(|/73)> 3" = sn(/i(F+), /2(F+)). (5)
Тензор напряжений определяется по (4.3.2)
Т = 2ЦЧгэт • F = 2Г3и (э,)Р • F + 2/~v* (sn)F • F = Т, +Т". (6)
По правилам дифференцирования в II, §§ 2, 3 имеем
з, {VTJ? = j (VT3) /^f-1
и первое слагаемое в (6) оказывается равным
T, = sJ(K7;)E. (7)
$7]
ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА И ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
173
Более громоздко вычисление Тп. Имеем
(3h)f = <|
дэи
d/Д F + )
¦A(F+);
a/2(F + )J 5/2 (F + )
- использовано правило (II.4.12). По (II.4.9), (II.4.18) имеем также
1 rVipp-im-Vsj.
(F+)f = (F/rv*)F = - -j /r'^FF-1 + /Г'3у (C" + Cin)
и теперь T"
1 / Г ^п . 1 / /р+\
[,-Х73 /я lr 1<5/2(F+)
dsn
dsn
dsn
dls(
или no (1) T"=2/3-1/3{
dh( F + ) 1 дэ"
/i(F+)
a/*(F+).
/i(F)E + T
<Эз>ц
3 d/2(F + )
F+F
7X (F+ • F) E
a/j(F+)
дэ
dJ2( F+)
f+-4e/1(f-<
дэи
a/*(F+)
При аналогичных (4.3.5) обозначениях
F + 2 -у Е/
i(F+2)]}.
dsn
^ = а7прй-
h (F+)
дэ
дэп
(8)
d/a(F+)' a/2 (f+)
и вспомнив определение девиатора тензора в I, § 13, получаем
Т"= 211'/2 dev (4i1+F+ + 4)+F+2). (9)
Тензор напряжений Коши оказался представленным суммой шарового и
девиаторного слагаемых
T = 9'i(V/;)Е + 2 |/|dev№F++^F+2). (10)
Аналогично представление через измененную меру Альманзи
Т = а((/7])Е+2 )/|-dev0K+g++iK+g+*), (11)
причем подобно (4.3.8)
(Ээт
dh (gn
h (g+)
a/*(g+)
дэц
d/2(g + ) '
(12)
Для задания 5П может быть использовано выражение, линейное относительно
/х (F+), /2(F+)
aII = C1/1(F+) + C2/2(F+) (Сх>0, С2>0),
(13)
174 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
подобное потенциалу Муни для несжимаемой среды [см. гл. 7, § 2]. Тогда
Т" = 2 )/ldev{[C1 + C2/1(F+)]F + -C2F^. (14)
Приемлемой аппроксимацией может служить выражение
3, {VT3) - - k (1 n Vh - J/Ts + 1), (15)
так что
Tj = - к(1з'!2 - l) Е, /, (Т)^-3/г(/з,/1- 1),
<7 = 4 (Т) = -^е=^,
ч !>о
где д -среднее нормальное напряжение.
§ 8. Тригонометрическое представление уравнения состояния
Следуя I, § 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на
шаровую и девиаторную части
з
T = 4/1(T)E + devT = 4/1(T)E + ?as'eIes (1)
S= 1
- через сг' обозначены главные значения dev Т. Деформированное состояние
задается соосным с Т тензором логарифмической меры деформации Н.
Аналогично (1) имеем
з
Н = ~ Д (Н) Е + dev Н = | Д (Н) + X fases. (2)
S= 1
Здесь h's - главные значения devH. По (1.13.10) можно представить их
формулами
hi= |/-f-sinT, /ь=]/-§- Sin(\l3 + -y-j,
)/ f sin(Yp4=-); |ф|<?, (3)
причем по (1.13.4), (1.13.5)
2 3
4/2 (dev Н) = 4 № -Kf + (h2 -h3Y + (A, -h,Y]
. gj ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 175
- использованы формулы (1.6.11). По определению девиатора
К - = К - у /, (Н) = In vs - Д- In ViV-Ps, h^-^ln-, h'2 - In -,
/i'r=i-ln- . (5)
1 3 p2d3 3 3 3 vxv2 4 '
Следствием (3) и (5) являются соотношения
sin\[) = -77==- 1и " > cos 'ФIn (6)
V 3g2 V-2P3 V gi
3
- второе получено по выражению h'2 после замены
