Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
4exCi (Су1 + Bz2) 4е2е2 (Az2 -)-Сх2) 4 4 е3е3 (Вх2 4 Ау2) - (е,е2 + е2е,)
Сху - (е2е3 4е3е2) Ауг -
- (е3е, 4 е1ез) Bzx. (17)
Для параллельного е, вектора N имеем А\ = 1, N2 = N3 = О и тензор Q
приобретает диагональный вид
'Q = (А 4 2ц) е,е, 4 [(А 4 2ц)"(4 4 4) 4 Аи3 - (3А 4 2ц)] е2е2 4
"Ь Тн-4] ^^ ^ ^езез•
Условиями его положительности являются неравенства
А 4 2ц 4 О, (А 4 2ц) (v14 4) ~Ь ^4 ^ ЗА 4 2ц,
(А4 2ц) (4 44) + ^4 > ЗА4 2ц. (18)
Конечно, приняв в (17) Л72 = 1, Лг3 = У1 = 0, получили бы еще одно
неравенство
(А 4 2ц) (4 44) 4 Ап, > ЗА 4 2ц. (19)
Неравенства (18), (19) преобразуются к виду
(1 - 2q) (4 44)494 > 1, (1- 2у)(и244) + <74 > К
(1- 2у) (444) 4 <74 > П (2°)
причем q = v/(l 4 v)> - 00 < <7 < 1/3.
Когда лишь одна компонента N обращается в нуль, например
^з = 0, тензор Q становится равным
Q = [(А 4 2ц) (х2 4 у2) 4 Су2] 4 [(А 4 2ц) (х2 + у2) 4 Сх2] е2е2 4
__________4[(А + 2ц) (х2 41/2) + (Ау2 4 Вх2)] е3е3 - (е,е2 4 е2е,) Сху.
*) Как и в представлениях (4.12.9) (4.12.10) отброшен не изменяющий знака
Q множитель У1$.
168 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Условия положительности компоненты Q33
Я-{-2р-|-В>0, А.2[д. -f- Л. > О
уже заключено в (18) и (19). Точно так же в силу этих условий оказывается
положительным и диагональный минор
[(К + 2ц) (х2 + у2) + Су2] [(Я + 2ц) (х2 + у2) + Сх2] - С2ху =
= (Я 2р) (х2 + */2)2 (^ + 2[х + С)
равно как и два других диагональных минора.
Без труда проверяется, что условия (20) гарантируют положительность
диагональных членов и диагональных миноров матрицы компонент
акустического тензора (17) при любых N (отличны от нуля х, у, г). Этим
гарантируется и положительность; как можно проверить,
det Q > 0.
Итак, доказано, что неравенства (20) -не только необходимые, но и
достаточные условия положительности акустического тензора, значит и
сильной эллиптичности полулинейного материала.
§ 6. Материал Блейтца и Ко
Опытные данные, полученные Блейтцем и Ко при измерении деформаций одного
из специальных сортов резины в широком диапазоне нагружений, оказалось
возможным аппроксимировать представлением удельной потенциальной энергии
трехконстантным выражением
f тц(! - р)
+ а(Г
1)-3
(1)
(2)
2ц 1- 2v'
Упрощенный вариант этой зависимости, признаваемый этими авторами
приемлемым, использован в одной из работ Ноулса и Стернберга (J. К-
Knowles, Е. Sternberg, 1975) при значениях постоянных
Р = 0,
1
V = T
а = -
Выражение э в этом предположении принимает вид
?=тИ1т- + 2П.-5) (3)
444+21//>
S6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО
169
и уравнения состояния для тензоров Пиола и Коши представляются формулами
о
VR
11 / Я
[E/1-G + (/;/z-/2)G-1].VR,
Т = р/:Г3/г[Е (/:/2-/,) + /,F-F2].
В линейном приближении, используя (3.4), (3.5), получаем
Т --- р (ЕЬ + 2е)
- это линейно упругий материал при Я=(х (v = 0,25). Главное напряжение
оказывается равным
- оу = 1 + Is3/2 [- {v\v\ + v\v% -f vlv\) -f vf (vf + v\ -f v\) - vi] =
I1
(4)
так что
1_?l
VTA'
g2 _ 1
и ~ VTA'
Получаем
VI
так что по (5) vl =
J _______ Hit f J______/ J ______________ н_з\1 1/<6
И / \ M- / \ И-
1 - 1 i1 KT3i|
r-6/2
^ '
• (5)
(6)
l_?i) i_?s
p J \ P
H3
J _____________2_S ' 1
(s= 1,2,3). (7)
Закон состояния (4) оказался обратимым. При обозначении
--3 ) =1-
/i(T) , /о (Т) /з (Т)
Г
(8)
получаем
Л (G) = D-4/6 3
2Л(Т) , /2(Т)
К (И
Г
/2 (G) = D-V^3-/3 (G) = /)-*/..
По (3) выражение э теперь представляется через инварианты тензора
напряжений Коши
/1 (Т)
Э = тр
5 (Z5-1/-- 1) - D-
(9)
[70 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. г,
Имеем также
Р - • VRT = VhU (Т) = D-V./x (Т)
и выражение удельной дополнительной работы (4.17.3) приводится к виду
(Ю)
- у Р [5 (1 - ?>- V.) + 3D-'/./г (Т)].
Здесь оказывается возможным обратить уравнение состояния (4) выразить F
через Т
S- 1
= D-V
S= 1
1- os/p
-еяе, 1
=D-4/'
ИЛИ
F = D-4A
= - 5p,(D'^)T. (11)
Последнее равенство - следствие соотношения (8) и формул
дифференцирования II, § 3
_|lDr = E(l-^ + ^) + i:T(l-M2)+L;=.FCV.. (12)
Формула обращения оказалась достаточно сложной -в ней D следует заменить
по (8).
Обратимся еще к построению акустического тензора Q для материала Блейтца
и Ко. Используется формула (4.11.16). По (4.3.5), (4.5.5), отбросив
положительный множитель ц, имеем
>0= 2Г3( ^2 + ^з ), ' ^2== "2"77'
^°о=2Г^2+^/2). $ю = ~2~Г ' $02 = 27-,
$,
$22 = $12 = О
11 " 21"
и подстановка в (4.11.16) дает
4/,Q = 3/2NN-21, (NF-N + N- FN) + 2(NF2-N + N• F2N) +
+ N • FF- N -f- (/jE - F) N-F-N -EN-F2-N. (13)
§6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО 171
Через главные значения и главные направления F тензору Q придается вид
з
Q = ? (2Щ + М*)Щ- + (Cle2 + e2ei) (V + АЛ NхNf +
7Т\ Vs t Vl V2 j
+ (e2e3 + e3e2) (~ + -V) N2N3 + (e3ex + exe3) ("A + Дг) У3Л4. 04)
\ "2 t'3 / \ t'3 V! j
При обозначении es = vse's приходим к представлению, полученному Ноулсом
и Стернбергом
з
Q = ^ (2У2 + ^2) eses + (ел -f- e2ej) (~ 4~ ~
S- 1 * " -
+ (е2ез + е;е;) (^2- + -^ j+ (ел + е;ез) ^ + . (15)
