Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
р упрощенном законе записывается в виде
8э о" = 9А-|-5[1 - 2 (ЗА -f- р) /х -ф (А -)- р) Д -8р]//3-=
= 4 Р [(П + 3) п~ 18 Vn] + (9А + 5р) (4Д - 1 )\ (12)
Далее находятся достаточные условия положительности э.
Величина в квадратных скобках положительна. Действительно, можно усилить
неравенство
/2
1'ъ - g,g"g* < зТ (gi + ёл + g3)3 --ff .
отбросив в его правой части
4г = WT2 [¦^+¦З)2-П* (ti- З)2]
отрицательное слагаемое. Поэтому
га^и~Пг(1[ + зг, (/1 + 3)/I-181/71 > О (13)
и пй (12) искомые условия приводятся к виду
Р>0, 9А-ф5р>0 (а>- у р) • (14)
Необходимость первого условия следует из (12) для деформации, в которой
/( = 3.
Область допустимых параметров А, р в линейно упругом теле
р > О, ЗА-ф2р>0 (15)
шире, чем в теле Синьорини. Это следует объяснить тем, что неравенства
(15) должны обеспечивать положительность э лишь при малых деформациях.
Введя в рассмотрение величину
1 7
2 A-l-p '
называемую в линейной теории коэффициентом Пуассона, можно неравенства
(14) и (15) для тела Синьорини и для линейно упругого тела записать еще в
виде
р > О, -|-<v<7; 9>°> -Kv<i (16)
Замечание. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза (1939) предложен
квадратичный закон состояния, включающий пять констант
^ Ь + ( В -ф А ) Д (С 4* ЗА ) /2
-ф [2р' -ф (С -ф А - 2р') в] A + (D + 5p ) А2.
154 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. 5
Его можно согласовать с законом Синьорини (9), определив В, С, D через Я,
р, с равенствами
- 4) > С = - с - ЗЯ, D = 2c - 5р;
2 4 2 .
Я' = Я, р' = р.
§ 3. Материал Мурнагана
Представление удельной потенциальной энергии деформации полиномом по
степеням компонент тензора деформации Коши - Грина с постоянными
коэффициентами, подлежащими экспериментальному определению, было
использовано в многочисленных исследованиях Мурнагана (F. D. Murnaghan),
содержание которых воспроизведено в его монографии 1954 г.
Отправным является задание удельной потенциальной энергии деформации э,
обеспечивающее включение в уравнение состояния всех слагаемых второй
степени относительно градиента перемещения Vu. Если ограничиться
изотропными материалами, то выражение э следует задать скалярными
структурами (1.15.16), (1.15.14) второй и третьей степени. Присоединив к
ним слагаемое первой степени, придем к шестиконстантному выражению
э^-ph (С) + у [Я/2 (С) + 2 (X/, (С2)] +1 [V! (С) +
+ 6v2/! (С) I, (С2) +8v3/1 (С3)] - - pi, (С) -(-у (Я + 2р) 1\ (С) ¦
-2р/2 (С) + 1 (/ + 2т) П (С) -2ml, (С) /2 (С) + я/3 (С). (Г)
Здесь Я, р- постоянные Ляме второго, v,, v2, v3--третьего порядка, через
/, т, п обозначены постоянные Мурнагана, связанные с vx, v2, v3 формулами
(1.15.15).
В экспериментальных исследованиях, связанных с задачами нелинейной
акустики, накоплено значительное число данных о постоянных Ляме третьего
порядка для ряда материалов. Некоторые сведения о них были получены по
результатам статических испытаний Бриджмена при весьма высоких давлениях
(P. W. Bridgman, 1948).
После замены lk (С) через инварианты Ik (G) - Ik меры деформации Коши -
Грина формула (1) преобразуется к виду (если начальное состояние
натурально, р = 0)
Э==Т
- ЗЯ -2р + у/ +тг) h (G) +У (Я + 2р-3/-2т) I\ (G)
+ (- 2р + Зт - /2 (G) - ml, (G) /2 (G) +1 (/ + 2т) I\
(G) -
п
(/, (G)-l)
Ф
3]
МАТЕРИАЛ МУРНАГAHA
155
До (4.3.5) имеем Фо = хД =
(/i_3) А-2р +1 / (Д-3)2 + т (Д - /2) -± (Д - 1)
Фг л
2p-j-m (Д- 3) -f-
(3)
Нетрудно проверить выполнение равенств (3.7.12), (3.7.13).
В приводимых далее формулах ограничимся удержанием слагаемых второй
степени относительно производных вектора перемещения. Имеем
F-^E + 2e(u)+VuT-Vu,
оооо tv
F2 = E + 4s (u) +4s2 (u) -f-2VuT- Vu,
Д(Е)=3 + 20 + х.
/2(F)=3 + 4D + 2X + 2x, (5)
/3(F)-1+2D + x+2x
при обозначениях
/0 \ 0 / 0 0 \ 00 /0 \
0 = Д фе (и)) Vu, х (VuT-Vu) -2о)-ь> + 11 [s2J ,
х = 2/2(е)=-Э2 - Д (e(u)2) ,
I
~Чг
(F)==1-^ ' Х-х+4-V,
(6)
о t / о о у
8(u) = T(Vu + Vury ,
о о
w(u) -сопутствующий кососимметричной части Vu вектор. В этом приближении
4ф0 = уя
у" (20-Ьх+2*)>
4115! = - 2р -" + 20 (Ч - т - yj -j-%! X - rn - yj - 2mx-f 2/02, (7)
4ф2 = 2р + 2 mb + тх + у и
и выражение тензора напряжений может быть записано в виде
Здесь Т°
Т= (1 --Э)Т0 + 2е-Т° + Г.
-тензор напряжений линейной теории
о
Т° = МЕ + 2ре(и),
(8)
(9)
156
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 1ГЛ
а через Т' обозначена совокупность слагаемых
_
"~!Г
Х% + 1Ъ2- т - т
X
Е + 2 ( т-
и \ ~2)
о
4
4-пе2 -f-pVuT
о
Vu,
(Ю)
о о
причем VuT-Vu определяется по (1.7.13). Естественно, что коэффициенты
Мурнагана входят лишь в представление Т'. Вместе с тем, ограничившись в
задании удельной потенциальной энергии (1) только квадратичными по
компонентам С слагаемыми, иначе говоря, приняв /, т, п равными нулю,
пришли бы к представлению Т, отличному от выражения линейной теории с
заменой о
е на С, как в "теле Сетха".
Коэффициенты Мурнагана второго (X, ц) и третьего (Чд, v2 v3) порядков
I =yVl +V2>
tn -
:v24-2v3, n = 4v3
указаны для различных материалов в табл. 1-3. Данные сообщил автору С. С.
