Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 510

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 504 505 506 507 508 509 < 510 > 511 512 513 514 515 516 .. 942 >> Следующая

существует. Приводимое далее доказательство принадлежит Шилду (R. Т.
Shield, 1971).
Сначала устанавливаются два вспомогательных предложения: а) при 3(7], /2,
- уравнение статики удовлетворяется, если
R - гармонический вектор. Действительно, по (II.3.5)
Р = .90 (/1)0 2VR, V-P^2\-VR = V2R = 0, (5)
VR VR
б) Пусть теперь з(/,, /2,-/3) /3- уравнения статики удовлет-
воряются при /3 -const. Обратившись к (1.9.1), (1.9.4), имеем
(Кд)о -VTB\r\ V-VТуг =--(), (/s)0 ~-2VT3(VT3)0 (С)
VR VR VR
и поэтому (используя правило V-cpQ=cpV'-Q-[-QT - Vcp)
р 3 о - (^s)o '
VR VR
\-p=2vyr3(Vrs)Q =
VR
= 2УТв\УТ3\г'+2УТ3\г.\УГ3^2уТ3\УТ3--=\13 = 0, (7)
откуда и следует, что /3 - const (градиент этого скаляра равен нулю).
Пусть теперь з=фл/3э(/1, /2, /3) и вычисляемые по з и з
тензоры напряжений удовлетворяют уравнению статики. Имеем
Р = э0 = ]//3з0 +(К/3) о 3> vp = l/^3V'3o +5Т0 -УК/3 +
VR VR VR V R VR
+3v.(j/t;)0 +уту0 Лэ~.
VR VR
Первое слагаемое равно нулю по условию, второе по (7), третье по (6).
Приходим к уравнению
V-P=l/73 Vr.V3=l/73 V3 = 0, 3=^const. (8)
Значит и все инварианты Ik постоянны. Поэтому
VVj-O. (9)
138
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Вместе с тем
0 0 0 0 х л / д k \ 2
G = VR-VRT, MG) = VR--VRr = L L (?г ,
s =1 /г = 1 V '
s = 1 k = 1
r=lS=1 k=\
Но первое слагаемое равно нулю по (5). Получаем
Итак, хк - линейные функции as, преобразование отсчетной конфигурации в
актуальную аффинно, что и требовалось.
I Конечно, линейное преобразование остается универсальным решением и в
случае несжимаемой среды (/3 = 1), но теорема Эриксена в вышеприведенной
формулировке в этом случае не имеет места; оказывается, что линейное
преобразование - не единственное универсальное решение (см. гл. 7, §§ 8,
9).
§ 16. Принцип стационарности потенциальной энергии
Здесь и в § 17, § 18 формулируются вариационные принципы нелинейной
теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые
условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть
получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими
подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова
- Галер-кина и их видоизменения, предложенного J1. В. Канторовичем, к
приближенному решению задач нелинейной теории упругости.
Исходным пунктом вывода принципа стационарности потенциальной энергии
системы служит соотношение
выражающее равенство вариации удельной потенциальной энергии деформации
элементарной работе внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном
перемещении SR частиц тела из состояния равновесия в актуальной
конфигурации.
Запись в интегральной форме имеет вид
системы
Ьэ=Ь'а{е),
(1)
555 6з dv - 5 5 5 pk • SR dK - 5 5 f • SR dO = 0.
(2)
V
V
О
; 16]
СТАЦИОНАРНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
139
кассовые силы не варьируются, они те же в рассматриваемом состоянии
равновесия, что н в сравниваемых с ним состояниях. Поэтому
f pk-6R dV = J J J р0к- 8R dv = б J ^ р0к- Rdv = б J ^ рк- R dV.
V V V V
(3)
Знак вариации был вынесен за знак интеграла, так как отсчетная
конфигурация, конечно, также неизменна при варьировании.
Принимается, что о2 = о - о1 - та часть поверхности тела в отсчетной
конфигурации, на которой задается вектор перемещения и, на части ох
задано "мертвое" поверхностное нагружение f°. Тогда по сказанному
на о2: 8R = 0; на ог\ 8f° = 0. (4)
Итак,
J$f.6RdO = $$f-6RdO+$$f-6RdO=S$f0-6Rdo=--
О 2
= б SS f°-Rdo
Ot
(5)
и соотношение (2) приводится к виду
= 0
(6)
или после перехода к интегрированиям в актуальной конфигурации
fa - pk-R dV
е do
О,
: о,
(7)
причем следует заменить его значением (1.8.7). Величина в квадратных
скобках
-pk-R )dV
•ft f If-МО. (8)
О,
называемая потенциальной энергией системы ("тело + внешние силы")
представляет функционал над вектором места R частицы в актуальной
конфигурации. Соотношение (6) (или 7) выражает теорему (принцип)
стационарности этого функционала: из всех допустимых полей векторов места
(иначе говоря, принимающих на 02 наперед заданное значение) в состоянии
равновесия
140
ПОСТАНОВКИ ЗЛДЛЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
осуществляется поле того вектора, в котором функционал Wt сохраняет
стационарное значение (6Ц+--0).
Напомним, что стационарным называется значение функционала, приобретающее
при сообщении вектору места R вариации 6R приращение ДWt более высокого
порядка малости, чем | 6R |. В линейной теории доказывается, что Л11+ > 0
(при э > 0), т. е. что стационарное значение функционала является его
минимумом. В нелинейной теории для такого утверждения нет основания.
Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной
задачи о стационарности. функционала W-, представляют уравнения
равновесия в объеме и на поверхности одного из видов, представленных в §
10.
Действительно, вспомнив (4.1.3), (2.6.2), (II.2.7), (1.3.10) и
(III.3.10), имеем
5 55 8adv -= ^ 5 \ э0 ¦ ¦ SVR1 dv - \ J J-P- • V6Rт dv -
v v VR v
= ffj у 1 VrT-T- -V8R+y = T • ¦ VSRT- Vr'dV -
Предыдущая << 1 .. 504 505 506 507 508 509 < 510 > 511 512 513 514 515 516 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed