Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 507

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 501 502 503 504 505 506 < 507 > 508 509 510 511 512 513 .. 942 >> Следующая

(11.13)
Q = NSNqVq (тstPQ -f- xstw) tttp, Q*P = NSNqv2q (-xstPQ + тbt4P).
(7)
причем учтено правило переставимости индексов (8.8). Обратившись к (8.9),
(8.10), приходим к выражениям
и несложно проверить, что Q12 = QSl - акустический тензор симметричен.
Действительно, по (3.12), (3.16)
Конечно, остальные компоненты Q получаются круговой перестановкой
индексов в (9) и (10).
Структура det Q, как видно из полученных выражений компонент Qmn,
достаточно сложна и получить из его рассмотрения отчетливые суждения о
сильно эллиптическом материале вряд ли возможно.
Ограничимся рассмотрением случая вектора нормали, направленного по одной
из главных осей меры Фингера. Пусть, например, N^=ex, А7х = 1, N2^Ng ^0.
Тензор Q становится диаго-
AS V1 I 1
и в базисе собственных направлений меры Фингера
Q = NsNkg^ (%'tpq -f тstl>P) RtR
(6)
В формирование этих величин из 12 компонент тензора упругих модулей
войдет только 4 различных
q-nix х1122 Т1212 х1313
^1122 X1212 X1313
(8)
(9)
(10)
2 dv2 v3 dv2dvx
и как требуется
Q*-Q* = N1Nt
v i3(Ti 1 д2э
да" 1 д2э
i> ------
1 1 ov1 v3 avxdvi 2
О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РЛВНОЕЕСИЯ
131
нальным
Qu=°i%T. Q22 =- v! , Q(tm)-=vi-§=%. (11)
(J°1 V2-Vi V3-Vl
Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, приводятся к
требованиям
|^>0, ^Р%>0, ^=Ц>0. (12)
0V1 Vl -V2 Vl- v3
Повторив это рассуждение, во-первых, приходим к требованиям монотонного
возрастания главных напряжений вместе с соответствующей главной
деформацией
^>0, s= 1,2,3. (13)
Во-вторых, к равенствам знаков разностей главных напряжений и главных
деформаций - "53<?-критериям" (Бейкера-Эриксена)
sgn(cr*-oft) = sgn (vs - vk)\ s, 6=1,2, 3, s=?k. (14)
Как говорилось в § 11, понятие о сильной эллиптичности согласуется с
представлениями о том, как "должен себя вести материал". Более подробные
сведения могут быть Гюлучены при рассмотрении конкретных материалов по
явному заданию э(/х, /2, /3).
§ 13. О постановке краевых задач равновесия
Предполагается известной неискаженная отсчетная "-конфигурация. Первая
краевая задача, как и в линейной теории, состоит в разыскании актуальной
^-конфигурации - вектора места q3) любой частицы тела (q1, q2, qs) по
заданию его или вектора перемещения u = R -г на поверхности О в этой
конфигурации
на О: R = R(<y, q2, q3) = r(q\ q\ q*) + u(q\ q\ q3). (1)
Искомое решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в одном из
перечисленных в § 10 видов (при Ь=--0).
Сложнее формулировка второй краевой задачи. Бесперспективно было бы
требование удовлетворить уравнениям статики на поверхности О, не
ограничивая класса рассматриваемых поверхностных нагружений - наперед
неизвестна не только эта поверхность, но и какие направления примут
заданные на ней силы. Поэтому ограничиваются рассмотрениями "мертвого" и
"следящего" нагружений.
При мертвом нагружении по (2.1.12) и (1.8.7)
на О: N-T = f = f°-^= У^ f°(n-G-1-n)-,/s; На о: n-P = f°, (2)
5*
132
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
причем поверхностная сила f° задана на поверхности о тела в отсчетной
конфигурации. Решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в объеме
V актуальной конфигурации, следовательно, требованиям равенства нулю
главного вектора и главного момента внешних сил
JJjpkd7+SJfdO = 0, JSjRxpkdP+JJ RxfdO = 0. (3)
VO V о
Равновесной должна быть и отсчетная конфигурация
p0k (iy-f ^ f°r/o---0, rxp0kdu-f ^rxf°do=0. (4)
V VO
Первое условие (3) немедленно преобразуется в первое условие (4)-это
следует из закона сохранения массы pdV = p0dv и определения (2)
"мертвого" нагружения. Иначе говоря, обращение в нуль главного вектора
внешних сил в отсчетной конфигурации гарантирует равенство его нулю в
актуальной конфигурации. Того же нельзя сказать о главном ^моменте
внешних сил. Он будет в актуальной конфигурации нулем при выполнении
условия совместимости (Синьорини)
И S (R - r) X р0к ни+ ^ (R -r)xf° do=0 или
V О
Rxpokdt> + S$ Rxf°do = 0, (5)
V О
непосредственно следующего из (3) и (4).
По заданию внешних сил вектор места R в актуальной конфигурации, как и в
линейной теории, определяется с точностью до жесткого перемещения [см.
(1.4.22)]. Этот произвол можно использовать, чтобы удовлетворить условию
(5) в предположении, что силовой тензор (2.1.16)-неособенный; это
доказывалось в гл. 3, § 3. Осложнение может возникнуть, если силовой
тензор В -особенный (delB = 0). Об этом см. гл. 6, § 11.
Реальным примером следящего нагружения служит остающееся направленным по
нормали к деформированной поверхности тела гидростатическое давление.
Уравнение равновесия на поверхности в этом предположении записывается в
виде
на О: -pN = N-T; на о: - |/ - pnVrT = nP. (6)
Ошибочно было бы ожидать единственности решения краевых задач нелинейной
теории упругости. Об этом свидетельствуют простые примеры.
Пусть внутренняя поверхность полого цилиндра закреплена неподвижно, а
наружной с помощью цилиндрической обоймы, в
ПРИЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ
Предыдущая << 1 .. 501 502 503 504 505 506 < 507 > 508 509 510 511 512 513 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed