Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
mn• -Р0 • - mn > 0 (6)
VR
для любой диады mn единичных векторов. Для сильно эллиптической системы
детерминант (4) не только отличен от нуля, но и должен удовлетворять всем
условиям теоремы Сильвестра. Разумеется, сильно эллиптическая система -
заведомо эллиптическая.
В применении к уравнениям равновесия, записанным в форме
(10.4), требование сильной эллиптичности равнозначно условиям
"сильвестровости" при любых пк матрицы
д2э
о -n*nt
(7)
эквивалентным неравенству
дЪ
Пкп^тЧ >0. (8)
о о дуг Is ду/ч
Отсутствие эллиптичности подразумевало бы возможность разрывов на
некоторых поверхностях гладкости решений уравнений равновесия упругого
тела. Это трудно примирить с представлениями о приписываемых упругому
материалу физических свойствах. Но нет и бесспорных оснований исключать
такую возможность, например, при достаточно больших деформациях. Сильная
эллиптичность -дополнительное, более ограничивающее требование. Далее мы
увидим, что оно соответствует некоторым априорно предполагаемым свойствам
упругой среды, непосредственно не следующим из ее определения как
простого материала, лишенного памяти и наделенного свойством
аккумулировать работу внешних сил. Сильная эллиптичность -свойство
материала, определяемое заданием удельной потенциальной энергии
деформации,
128 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
При заданной энергии сильная эллиптичность может иметь место
о
для определенных множеств значений VR и отсутствовать для других множеств
этих значений.
Матрица детерминанта (4) далее преобразуется в случае изотропного
материала заменой в ней Р0 тензором упругостей TF
по формуле (9.12). При этой подстановке два первых слагаемых в (9.12)
выпадают
г?п- Р Vrc r,n rqn--PRm-rsna, r9n- • rmPTRm• • r,n = nwr9-PT¦ nR(r) • r, -
r"n¦ • PR" ¦ rsnm, как и требуется. Приходим к рассмотрению матрицы
]/7^iyv• Yrr Tp-•(Rfi^-fr^iV. -r,n-=
--- У Т3 r^n- Vrг• -TF • • (vRr-nr, + r,VRr.n),
преобразуемой к виду
г, • [уТ3п • VrT ¦ (TF + TF • • Сп) • VR *. n] • г, = r? • Q ¦ rs, (9)
причем TF--Cn - тензор TF, в котором третий и четвертый индексы
переставлены местами
TF - -Ch-tW^R^R,. •C1I^x^R/?R9RiR(. (10)
Итак, система уравнений равновесия эллиптична при условии
del Q =/= 0, Q - УТ3 п- VrT- (TF + TF • -Сп) • VRT -n (11)
- должен быть отличен от нуля детерминант ковариантных компонент Q (его
знак по (1.5.1) не отличается от знака detQ).
Предпочтительно заменить вектор нормали п к поверхности в отсчетной
конфигурации вектором N - в актуальной. По (1.8.8)
n VrT = (n G-1-n),/2 N, VRr-n-= (n-G_1-n)'/2 F-N. (12)
Отбросив несущественную для знака Q положительную квадратичную форму j/73
(п• G-1 • п)'бц придем к представлению в актуальной конфигурации
Q = N • (Tf + Tf • -С,,) • F • N. (13)
Заменив в (13) Tf его выражением (7.9), придем к развернутому
представлению тензора Q
а = (Чо-у 4'o)nN+HuN FF . N+aMN • F2F2- N +
+d01(NF-N hNN-FN)-bH02(N-F2N + NF2-N) +
+ {112(N-FF2-N +N•F2F•N) +
-Ьy (tiE + t,F) N-F-N + y^(N-FF-N+EN-F2F-N). (14)
§121 АКУСТИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР УПРУГОЙ СРЕДЫ 129
Тензор Q, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные
числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в
предварительно напряженной упругой среде плоских волн в направлении N
(когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это
дает основание назвать Q акустическим тензором [см. гл. 8, § 7]. Скорости
вещественны, если система - сильно эллиптическая.
§ 12. Акустический тензор упругой среды
Для линейно упругой среды по (7.2), (7.11) - (7.13)
(Тг)°- |[р(Сп + Сш) + ХЕЕ]==|те, (TF + TF • • С,,)0 - Те
и F = E в формуле (11.13). Представление акустического тензора приводится
к виду
Q = N • Те • N -= (к + р) N N + PEN • N = (к + 2ц) N N [- р (t^ + tgta),
(1)
так как
N • Сп • N ¦= NsRtRsNf -= NN, N-Сш • N = NSENS = EN • N,
а единичный тензор Е представйм в ортонормированном триэдре N, tj, t2
выражением
Е - NN + tjtj -f- t2t2.
Матрица тензора Q диагональна и ее детерминант равен
detQ = р2 (Я,-|-2р). (2)
Уравнения равновесия линейной теории эллиптичны при условиях
|х О, + 2р Ф 0. (3)
Они строго эллиптичны при соблюдении критериев Сильвестра, сводящихся в
этом случае к неравенствам
Р > 0, А + 2р^=2р^?^ > 0 -> - оо < v < ~ . (4)
Собственные числа тензора Q равны &1 = Я, + 2р, k2 = k., ^=р и условиями
строгой эллиптичности (4) гарантируется существование волн растяжения и
волн сдвига (со скоростями У (к f2p)/p, Кр/р) в линейно упругой среде.
Известно, что необходимыми и достаточными условиями положительности
удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела являются
неравенства
!*;> 0, зь+гр-гр^х) - -1 <v<|. (б)
5 А. И. Лурье
130
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Выполнение этих требований гарантирует сильную эллиптичность, обратное
утверждение не имеет места; например, при К <-2р/3, 3^ + 2р<0, но А,-(-
2р>0.
Рассмотрение нелинейно упругой среды, разумеется, значительно сложнее.
Представив тензор упругостей его компонентным выражением (8.2), имеем по
