Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
конфигурации; по ней с помощью Н-преобразования определяются отсчегные
конфигурации, экспериментально от нее неотличимые.
1
Рассмотрим материал, обладающий в м-конфигурации группой 1 2 2
равноправности g, а в и-конфигурации - группой g. По (5) и (4)
VVR: Т = еГ (vr) jr (vr) = S (s-1-Vr) , (11)
a no (8)
VVR, H,c=g: <t(vr)-<T (Hj-Vr) . (12)
l l l
Условие VVR допускает в (11) замену VR-^HjVR, так что 1 ( 1 \ 2 /' 1 \ s
(Нх-VRJ vs-^Hj-vrJ
и это соотношение по (И) и (12) можно записать в виде
4Vr) =Jr (Hi-VR) -=jr (s-^Vr) -i" (s-^H-Vr) . (13) Заменив теперь по (4)
S-1 VR = VR, VR = S VR,
no (13) получаем
2 2 / 2 \ 2 / 2' 2/ 2 \
VVR, H2cng: S' (vRj = #-(H2-VR)=Jr(s-1. Ht S VRJ . (14) Пришли к
соотношению, называемому правилом Нолла
. Ha = S-1-H1-S, Нх - S- H2 S_1; (15)
в обозначениях теории групп оно записывается в виде
g = s-4s, g-SgS-K (16)
Этим установлена связь между группами равноправности, отне-
1 2
сенными к отсчетным конфигурациям м, о, связанным S-преобразованием (3).
Соотношение (15) удовлетворяет условию (10):
если gczu, то и gczu. Действительно, по (15)
detHs-detS-^detHj-detS --detHj-i 1, и -¦S^uS. (17)
§5] ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 93
При преобразовании подобия (а - коэффициент подобия)
2 1 12 11 г = аг, 5 = Vr = аг% = аЕ, S-1 = a-1E
и по (16)
g = a-1EgEa=g (18)
- группа равноправности остается неизменной. Как выяснится далее, это
позволяет сказать, что преобразование подобия сохраняет присущие
материалу симметрии. При тождественном преобразовании (S = E) и
преобразовании инверсии (S = - Е) также 2 1
g = g ПО (16).
Триклинным называется материал, группа равноправности
1
которого состоит из двух элементов g=(E, -Е}. Этот материал минимальной
симметрии остается таковым во всех отсчетных конфигурациях
g = S-1{E, E)S = {E, E} = g. (19)
Для материалов максимальной симметрии (таковыми являются
1
простые жидкости) группа равноправности g = и - полная уни-
модулярная группа для о-конфигурации, но и для всех конфигураций, что
следует из (17),
g = S-1"S = " = g. (20)
§ 5. Ортогональное преобразование. Изотропный материал
Ортогональный тензор О со унимодулярен *) (detO=±l), ocg. Иначе говоря,
во множество Н преобразований некоторой отсчетной о-конфигурации,
необнаруживаемых опытом, могут входить и ортогональные преобразования.
Для этих, представляющих наибольший интерес преобразований, соотношение
(4.6) может быть записано в виде
VVR: T = <r(vR)=<r (ot-Vr) (1)
о о
и при замене VR на VR-0
VVR: Т = сГ (VR.<)) = "?¦ (oT-VR-C>) . (2)
*) о-обозначение группы всех ортогональных преобразований.
94
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
Но, согласно принципу материальной индифферентности, записанному в форме
(3.18),
?Г (vR-o) = 0T-<r (vr)-O. (3)
Пришли к соотношению
VVR, Oczg: ?Г (oT-VR-C>)-От-<Г (vr)-O, (4)
определяющему ортогональное преобразование, принадлежащее группе
равноправности в некоторой отсчетной и-конфигурации.
Мы подошли к определению изотропного материала - "одной из великих идей
Коши" (Трусделл): материал изотропен, если существует отсчетная и-
конфигурация, для которой группа равноправности содержит полную
ортогональную группу о - уравнение (4) выполняется для всех
преобразований этой группы
VVR, VOczo: Ж (ог¦ VR• о) = От • <Г (vr) ¦ О. (5)
Такая и-конфигурация называется неискаженным состоянием материала. Любое
ортогональное преобразование оставляет неискаженное состояние
неискаженным. Уравнение (5) удовлетворяется в изотропном материале
тождественно для всех Ост о.
Тензор Н в (4.6) может быть любым ортогональным тензором. Приняв Н = Ох,
где 0х -ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, можно переписать
(4.6) в виде
l(vR)i=#'(vR)=#'(oxr - Vr) = <#" (охт • 0х • v) = <ir (V) (6)
- здесь использовано определение правого тензора искажений (1.6.1).
о
Соотношением (6) доказывается допустимость замены VR на V в (5).
Получаем
VOczo: <F (0T V 0) = 0Т <Г (V)-0 (7)
и этим показано, что симметричная тензорная функция
Т Тт - (V) (8)
над симметричным тензором V удовлетворяет определению (II.7.1) изотропной
тензорной функции. Поэтому она представима по (11.7.7) квадратичным
трехчленом над V
(9)
§6]
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
95
со скалярными коэффициентами - функциями инвариантов Ik (V) = = /* (и)
Xr = Xr(/i(V), /.(V), /,(V)) (Г = 0, 1, 2). (10)
В неискаженной отсчетной конфигурации
V = E, 11 (V) = /2 (V) = 3, /3 (V) = 1
и по (9)
Т = -/?Е, -/?.= Хо (3, 3, 1) + Xl(3, 3, 1) + х2(3, 3, 1) (11)
- напряженное состояние в неискаженной конфигурации может быть лишь полем
равномерного сжатия (р > 0) или растяжения (р < 0). При р = 0
неискаженное состояние называется натуральным (напряженное состояние
отсутствует).
Следует особо подчеркнуть, что тогда как уравнения состояния упругого
тела в формах (3.12), (3.15) сохраняют вид независимо от выбора отсчетной
конфигурации, представление (9) пригодно тогда и только тогда, когда
отсчетной конфигурацией служит неискаженное состояние материала.
В уравнении (8) исключены из рассмотрения сопровождающие деформацию
