Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 495

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 489 490 491 492 493 494 < 495 > 496 497 498 499 500 501 .. 942 >> Следующая

ортогональный тензор 0х его представлениями
0х -и-1-VR, 0Хг - VRT- U-1. (11)
Придем к соотношению
Т--= VR^U-^cT (U)-U-1- VR- VR* (r)(U) VR. (12)
Здесь введено обозначение
Ф(и) = и-1-сГ (U)-U-1 = G-1/-Jr(G'/2).G-1/3 = (r)(G'/2). (13)
При новом обозначении
Ф (U) = Ф (G,/2) = Ч*' (G) (14)
уравнение состояния записывается еще в виде
Т = VRT-'F (G)-VR, (15)
а для тензора Пиола и энергетического тензора по (2.7.2) и (2.7. И) _
__
Р= [/"уф(и).УН = |/-|Y(G).VR, (16)
т --Ф(и) = ? (G). (17)
Напомним еще, что по (2.5) записи выражения принципа материальной
индифферентности для упругого материала можно придать вид
S (vr.o) = Ot-<f(vr).0, <#"( Vr) = О-еГ( VR • о) 0Т.
(18)
§ 4. Группа равноправности материала
Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации,
выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями
инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в
"нештрихованном и штрихованном" базисах. Отсчетная конфигурация
оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором,
позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое
тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная
конфигурация в этих рассмотрениях предполагается Неизменной.
90
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. 3
1 2
Рассматриваются отсчетные конфигурации о, о; места частицы
1 2
aSlq1, q2, qs) в них задаются векторами г, г. Однооднозначная зависимость
между ними представляется равенствами
?=?(;).<.>
12 2 1 - первое определяет преобразованием->-v, второе v->-v. Набла-
операторы, определенные в этих конфигурациях, обозначаются
1 1 0 2 2 д
v = r^ (2)
1 2 2 1
и градиенты преобразований v->-v, v->-v равны
1 21212 2 12121
v-*- v: Vr - rsrs - S; v->-u: Vr - rsr5 --- S'1. (3)
k
Градиенты места VR в актуальной конфигурации теперь представляются
формулами
VR = r'R5 S• VR; VRrsRs-= S"1 VR. (4)
Уравнение состояния записывается в одном из видов
Т = <Г (vr)=#'(s-Vr)^(T (vr)^/(s-1-Vr). (5)
1 2
Здесь ST, S' - отличные друг от друга функциональные зависимости,
описывающие одно и то же напряженное состояние. Подобно этому отличаются
друг от друга уравнения одной и той
же кривой, записанной в разных системах координат. Но не
исключено, что они сохранят вид, например, когда координатные оси,
являющиеся осями симметрии кривой, повернуты на 180°.
Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной
конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость
тензора, напряжений от градиента места, иначе говоря, запись уравнения
состояния. Градиент такого
1 2
избранного преобразования v-*v обозначается Н (вместо S),
1 2
индексы над S' отбрасываются S' -- S' - S'. Формулы (5) должно теперь
записать в виде *)
VVR, VR: <|г( Vr) ^ (vR j = <F (h-Vr) = S~ (h_1-Vr) . (6)
*) Знаком v* обозначается "для всех х".
$4j ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА 91
Из них следует, что никаким опытом над напряженным состоянием нельзя
обнаружить, был ли материал подвергнут в отсчет-1 / 2 \ 12/ ной
конфигурации v у или v) Н-преобразованию v-*-v I, или
2 1 \
Н^-преобразованию v->v) или не был.
Изменение плотности обнаруживаемо, Н-преобразования должны оставлять
плотность неизменной
det Н - ± 1 (7)
(не исключены преобразования, сопровождаемые инверсией).
Самый простой пример представляет мысленный опыт с нагружением кубика
силами, сохраняющими величину и направление. Грани кубика,
перпендикулярные осям XYZ, назовем 1, 2, 3; нагружение осуществляется
силами, параллельными оси Y. 1 1 2 В и-конфигурации нагружена грань 2, а
преобразование v->v осуществляется поворотом кубика на 90° вокруг оси Z.
Нагруженной окажется грань 1, причем деформация кубика, значит, и
напряженное состояние в нем может измениться, может остаться неизменным.
В первом случае поворот не является, во втором является Н-
преобразованием. То же можно повторить о повороте на 90° вокруг оси X,
когда нагруженной становится грань 3.
Н-преобразования образуют группу. Это значит, что если соотношениям (6)
удовлетворяют Нх- и Н2-преобразования, то и преобразования Hj-Hg, H2HX
являются Н-преобразованием. Н-1 -также Н-преобразование; единичный тензор
Е, конечно, Н-преобразование.
Доказательство очевидно, Достаточно в соотношениях
VVR: J^(vr)=ct(hi.Vr), "Г (vr) =<F (н,-Vr) (8)
2 2 2 2 сделать замены VR-/H2VR в первом, VR-/H^VR - во втором; это
допустимо, поскольку эти соотношения выполняются
2
для всех VR. Приходим к равенствам
^(h2.vr)^ (h^h.-vr), "t(h1-vr)="^(hj.h1-vr)
и по (8), как и требуется,
<r (vr) = & (h^vr) =<#- (н2-vrJ =<r (н^Н,vr) =
= <#¦ (н.-Hi-vr) .
Группа Н-преобразований, обозначаемая g, называется группой
равноправности материала; тензоры Н - элементы этой группы
Н eg. (9)
92 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГЛ. 3
Через и обозначается группа всех унимодулярных преобразований-
преобразований, сохраняющих объем. По (7) группа равноправности -
подгруппа унимодулярной группы
gczu. (10)
Напомним, что Н-преобразование отнесено к некоторой отсчетной и-
Предыдущая << 1 .. 489 490 491 492 493 494 < 495 > 496 497 498 499 500 501 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed