Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
следует отложить на более поздний этап.
Весьма общее описание напряженного состояния "здесь и теперь", иначе
говоря, в данный момент t в частице, отмеченной в отсчетной конфигурации
местом г (р1, р2, р3), состояло бы в задании тензора напряжений Т, как
функции г (р1, р2, р3), t и временного переменного
г^-t - s^Lt, 0^s<oo, (1)
§11
ПРОСТОЕ ТЕЛО
81
входящего в задание предыстории движения каждой частицы тела $
R (г (91, q2, q%)\ т) ¦ у '
Тензор напряжений Т (г (q1, q2, q3)\ t) представляется функционалом над
предысторией (2), функцией материальных координат q1, q2, <73 данной
частицы сЛ и, возможно, явно входящего времени t
<S
Т (R (г; t)) = сГ (R (г (ql, q\ q*); т); q\ q\ q=>; t) *
Внесение явной зависимости от t соответствует попытке учета изменяемости
свойств материала, обусловленной происходившими в нем тепловыми,
химическими и т. д. процессами (старение бетона, например). Это
достигалось бы более полно внесением, вместо t, величин, описывающих эти
процессы и их предисто-рии. Довольствуясь только механическими
постановками задач, мы исключим t из числа рассматриваемых аргументов.
В записи исходного определяющего уравнения (3) фактически можно считать
участвующей и температуру и, возможно, другие параметры состояния
(химического или иного происхождения). Однако во всем изложении главы
температура как параметр состояния не фигурирует. Это объясняется тем,
что существует широкий круг подлежащих изложению вопросов, не связанных с
термодинамикой. Именно эти вопросы (группы равноправности, понятие
твердого тела, типы анизотропии, понятие упругой жидкости и т. д.)
составляют рсновное содержание главы. Введение дополнительных параметров
только внесло бы в изложение лишние детали, тем более, что существует
обширный класс явлений, для описания которых не требуется введения
температуры. В частности, в отсутствие химических реакций приведенное
описание справедливо для изотермического либо адиабатического процесса
деформирования. Более общие задачи, исследование которых существенно
опирается на термодинамические соображения, рассматриваются в гл. 9.
Еще более упрощая задачу, примем, что среда однородна, "материально
однообразна"*). Это значит, что уравнение состояния одинаково
формулируется для всех частиц тела при таком условии в (3) не войдут и
аргументы места частицы q1, q2, q3 в SB.
При этих упрощающих предположениях
__________"а (4)
Т (R (г; г))=<Г (R(r (q\ q\ q3)\ т)).
*) He останавливаемся на различении этих двух понятий: однородность
(homogeneity) и материальное однообразие (material uniformity).
82 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
Представление определяющего уравнения в этой форме основано на
соображении причинности -"материал не знает будущего, но сохраняет память
о проллом".
Конечно, соотношение (3) него упрощенная форма (4) -только отправные
пункты для дальнейшей конкретизации. Следующий шаг - принцип "соседства",
близкодействия, локальности: напряженное состояние в месте г(дг, q2, q3)
определяется действием на частицу а? в нем лишь расположенных в ее
окрестности частиц
|г (q\ q\ q3)~r(q\ q\ q3)l < e, (5)
где e достаточно мало. Вместо (4) приходим к записи
V*
Т (R (г; t))=<F (R (г (q1, q%, q3); т)) , (6)
обозначением off указывается на соседство оМ с частицами, оказывающими
воздействие на напряженное состояние в о$. Аргумент функционала в (6)
представляется в виде
______off______ о
R (г (q1', q2', q3)', t) = R {r{ql,q2, q3)\x)+AR=dr • VR (r {q\ q\ q3)]
x) +
-f у dr-VVR (r (q1, q\ q3)\ x)-dr+ ... (7)
Тензор напряжений T "здесь и теперь" представлен функционалом над
историей движения, ее первого, второго и т. д. градиентов
Т (R (г; t)) = <#" (R (г; т), VR (г; т), VVR (г; т), . . .). (8)
Но было бы лишено смысла удержание аргумента R(r;x), так как частица
материала реагирует на соседние частицы независимо от ее расположения в
среде. Соотношение (8) сменяется записью
Т (R (г; t))=<F (VR (г; т), VVR (г; т),...). (9)
Высший порядок включаемого в функционал градиента определяет "порядок
материала". Во всем последующем мы ограничимся материалами первого
порядка-"простыми телами"
Т (R (г; t)) (VR (г; т)). (10)
В их число входят не только классические материалы -упругое тело, вязкая
жидкость, но и более широкие классы. Рассмотрению "непростых" тел нет
места в этой книге по теории упругости. Принятое ранее ограничение
неполярными средами, по-видимому, предполагает и отказ от рассмотрения
материалов второго порядка.
§ а] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 83
§ 2. Принцип материальной индифферентности
Следуя определению индифферентной величины гл. 1, § 15, примем, что
индифферентен вектор силы tw на площадке, ориентируемой вектором N dO.
Индифферентность N легко проверить, основываясь на формулах (1.8.8),
(1.15.13), (1.15.12)
N'= (n G_1' n)_12 • Vr' • n = (n-G_1 • n)_1/2 ot-Vr n = 0T• N = N O.
(1)
Поэтому
t'N. N'-T' = N ОТ' = t v 0, tjv= N О T' 0T = N-T
и этим доказывается индифферентность тензора напряжений Коши Т, так как
