Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Конечно, никакого суммирования по повторяющемуся индексу в (4) нет.
Обозначим через t(m) вектор напряжений, действующий по площадке с
нормалью R"jR"|_1. Этот вектор действует по площадкам qm == const и
характеризует воздействие среды, находящейся со стороны возрастания qm.
Запишем уравнение баланса количества движения элементарного тетраэдра
tN dS + t_t | R2 х Ra 11 dq2 dq3 \ -f t_2 ] R3 x Rj \ | dq3 dq1 j + +1_31
Rt X R211dq'dq* 1 = (4- PV - pk) (R, dq1 X R2 dq>) • R3 dq\ (5)
В левой части последнего равенства стоит малая второго порядка, а в
правой - малая третьего порядка. Поэтому с точностью до малых второго
порядка включительно левую часть (5) можно считать нулем. Используя (2) и
(4), уравнение (5) запишем в виде
з ___ _________________
tN = N- 2 Ret,", VGmm, |R "|s/C". (6)
m=sl
Векторы tN и N не зависят от выбора системы координат. Следовательно, не
зависит от этого выбора и сумма диад, стоящая в правой части (6), хотя,
конечно, каждая диада в отдельности зависит от выбора системы координат.
Это возможно в том и только в том случае, когда величина в правой части
(6) представляет произведение вектора N на тензор второго ранга, причем
объект t(m) VGmm является "контравариантным тензором с векторными
компонентами"
64 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
Заметим, что векторы t(m) являются физическими векторами напряжений,
однако, действуют они по площадкам, величина и ориентация которых зависят
от выбора системы координат.
Итак, соотношением (6) введен в рассмотрение тензор второго ранга
T=--R*t", (7)
который называется тензором напряжений Коши. Он является функцией точек
тела и не связан с выбором каких бы то ни было площадок в нем. Значение
этого тензора состоит в том, что вектор напряжения tN по площадке,
определяемой нормалью N, находится с помощью формулы Коши
tN-N-T. (8)
Тензор Т, являющийся функцией места в актуальной конфигурации среды,
описывает состояние среды в этом месте, ее напряженное состояние.
Соотношение (8) -основное во всем построении механики сплошной среды,-
было сформулировано в мемуарах Коши 1823-1828 гг., Т -тензор напряжений
Коши.
Тензор напряжений обычно задается его контравариантными или смешанными
компонентами
Т = iskRsRk -= t%R,R* = (9)
В § 3 доказывается симметричность тензора напряжений
Т = ТТ, tsk = ths, *%=# = *!, N-T = T-N. (Ю)
Нормальное напряжение на площадке NdO, обозначаемое ctn, равно
(Tn - ^n • N - N -Т - N = tskNSNk (11)
- это квадратичная форма компонент N. Слагаемое tN в касательной
плоскости к площадке, определяющее вектор касательного напряжения tn на
этой площадке, равно
тn = tn - Nсгn N X (tN X N) = N-T-(E - NN). (12)
Квадрат модуля tN представляется квадратичной формой
tN-tN = N-T-T-N = N • Т2 • N, (13)
а квадрат полного касательного напряжения выражением
tn-Tn = tN-tN- on = N-T2-N-N-T-NN-T-N^
- N-T- (E - NN)-T-N. (14)
Представление тензора напряжений через его главные значения ("главные
напряжения") os и главные направления е^ = е
§2J ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ 65
(главные оси напряжения) записывается в виде
Т - (т1е1е1 + (т2е!!е24-0Гзезе3. (15)
Написанные выше формулы теперь приводятся к виду
tN =aiyV1e1 + or2yV2e2 + a3A?3e3, (16)
<?n = сг2 jVf -(- ct2A^| -}-0sNl, (17)
tl^olNl + olMl + alNl (18)
T2N = 4(yV^?x? + yV^21T3a + A'i^^). (19)
Здесь ту, т2, т3 -модули полуразностей главных напряжений
"В ~~2 I ^2 сг3 J, т2 "2" | ст3 (TjI, т3 -g-1 cTj a21 (20)
- "главные касательные напряжения". Они реализуются, как видно из (19),
на площадках, делящих пополам угол между главными плоскостями. Выражение
Tn приобретает на них стационарные значения.
На площадке, нормаль которой Nx одинаково наклонена
к главным осям напряжения N^k = у -"октаэдрической площадке"
tfNx = -j ("В + о2 + а3) == у /х (Т), (21)
= Т ^ + а* + °з) = j h (Т2), (22)
== 4 (т2 + т* + т2) =1 [/, (Т2) -I П (Т)
= |[/?(Т)-/, (Т)] = --|/2 (dev Т),
так что
- /2 (dev Т) - j (т2 + т2 + т32) ^ ~ [(ах - о2)2+ (ст2- ог3)2 + (а3-
о,)2].
(23)
Этим дается механическое истолкование инвариантов тензора напряжений. Его
первый инвариант пропорционален нормальному напряжению на октаэдрической
площадке; второй инвариант его девиатора - квадрату полного касательного
напряжения на ней.
Ниже будет показано, что в изотропном упругом материале главные оси
напряжений сонаправлены главным осям меры деформации Альманзи (или меры
Фингера F = g_1). Площадь грани
1
единичного кубика do в отсчетной конфигурации с нормалью е? -главное
направление меры Коши -Грина G (и меры G-1),
^ А. И. Лурье
66 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
1
в актуальной конфигурации приобретает значение dO. По (1.8.7), (1.5.1),
(1.8.2)
dO ==do ]/~ (eJ.G-1-eJ)'/.= |/-G do
S Vg,
Vi l+6i
причем 8k-главные относительные удлинения. Отнесенная к еди-1
нице площади do в отсчетной конфигурации сила равна dO VhlGj
i
do
Величины
ti = tTi ^ о, = w, = (1 + 62) (1 + 63) a2. (24)
<25>
называются в отличие от главных напряжений "главными силами".
