Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим также применяемые далее соотношения
[T(F)]' = Tf- -F^Tf- -(F-Vw +VwT-F), (2n)
[p(vr)]'=P0 • .VR*- = p(vr). .Vwt, (21)
VR
(N-TdO)' = (N dO)'-T + N dO-Т' = N dO-(Г + TV-w-VwT• T). (22)
§П] ВАРЬИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 33
Конвективная производная отношения площадок. По (18), (8.7), (8) и (8.5)
получаем
d0_
do
¦ dO у,
- -г~ V • w
do
+ yVt (п'^-1'п) (n• G'1 • n)'; (nG-1-n)' = - n -[VrT- VwT- Vr + VrT- Vw -
Vr]-n
= - 2n-(VrT-E-Vr) n^ - ¦§"N-b-N,
так что
Итак,
1 j/
<23>
§ 11. Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора
Варьируя по правилу (10.9) соотношение, определяющее главные значения qs
и главные направления es симметричного тензора Q, имеем
Q ¦ = 2 Qs^s> Q ' Q ' = (.Qs^s "Ф Qs^s) (1)
s s
или после скалярного умножения на гк
е/г • Q* •е* + 5! qktk ¦ ts == >] (q'stk ¦ ts + qsek • e().
k S
При k=~-s, eiS-eJ=l, е^-е( = 0; при k=^s, ek-es - 0. Получаем
л* • eA'Q '?s Cfc-Q -e^
?,-e,-Q.e" e."i;T^7e' (2>
k
(штрих указывает на пропуск слагаемого k-=s). Таковы формулы для
конвективных производных главных значений и главных направлений тензора.
ЛНй л-у
В применении к мере деформации Коши -Грина по (10.10), (6.1), (6.2) имеем
^.0 0 0 0 0 о
Gs = 2e,-VR.eVRTe, = 2ec-U0?.0Tllet =
S
0
2VGsts-0-e-0^-tsVGs,
2 А. и. Лурье
34
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
так как ts- по (6.5) находим
Gs = 2Gsts • в ¦ cs.
(3)
Представление вектора ej аналогичным образом преобразуется к виду
,оо о о п , _____
efe.vR e.vRT.ej° о V VGsGk
G*~Gk * и
e: = 2S
оу'j^?ke -в ее -zz+ Gs-Gk k sk'
(4)
Задавшись представлением (6.6) сопровождающего поворот ортогонального
тензора, можно представить его конвективную ' производную в виде
v-^ Q- 0 0 ] /0 0 0 0
О'
2 G
Vgs
¦VR +
о о
+Eyt',VR
t-2??'
s к
0 0
^ . y~Q~ ^ ~Ь
V Gk
VR + 0-Vw. (5)
Были использованы формулы (3), (4) и (10.7). Двойная сумма преобразуется
к виду
ЕЕ'
s к
е*-е- е.У Gs~Gk
(VGk~VGs)
о о
еье, = -
ЕЕ
s к
е?.?.в..
о о
VGs+V'Gk
и это позволяет объединить суммы в квадратных скобках в (5). Приходим к
искомому представлению конвективной производной
е*-е-е^
s k
Vgs + V Gk
0 0 о
- zkzs- VR + O- Vw
Здесь использованы формулы (4.18). Имеем также
°т-=-2 ZL у9^уж 'Vr+VwT • °т
(6)
(7)
Приняв представление (6.5) тензора О, легко проверить выполнение условия
0' 0г + 0 От =0. (8)
l2j ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 35
Отметим также соотношения
О* • VRT = VR • 0Т = 0. (9)
Действительно,
0' • VRT = 0' От U = (0' От) -U = 0,
так как тензор 0'0Т по (8) кососимметричен, a U симметричен.
Основываясь на формулах (6), (7), можно вычислить и конвективные
производные тензоров искажений U, V
U = (vR-0T)'=^R-(Vw-0r + 0T'),
V = (vRT -о)' = (10)
= Vw* • V + VRT• O' - Vw- - V + V • Vw -2 ?? VsVk4zs.
S k
Сославшись на (9), имеем также
Уф (U)* - 1г (U') = Vw- Ог VR = Vw V. (И)
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента
Мера деформации Gx в ^^-конфигурации представляется ее точным выражением
Gx = VRX ¦ VRTX = VR • (E + tjVw) • (E + tiVwt) • VRT =
= G ф-2г) VR -g- VRT -f- r|2VR • Vw - VwT- VRT. (I)
Поэтому следует иметь в виду при вычислении с учетом сла-
гаемых второй степени относительно параметра малости т] необходимость
внести в формулу (II.4.23) для второй вариации <р (Gx)
о о
слагаемого ifVR- Vw-Vwt- VRt в выражение множителя 8GT при первой
вариации. Формула (II.4.23) приводится к виду
Ф (Gx) - ф (G) = фс (G) • ¦ (2r)VR - е- VR- ф- тф2VR • Vw - VwT • VRT) ф-
+ j2t]VR-e-VRt -фсс (G)- -2pVR-e-VRr-f . . . = т]фс (G) ¦ -G'-f
+ ^[2ф0 (G) • • VR • Vw - VWT- VRT ф- G'- • Фсс (G) • • G*] -f . . -,
(2)
причем G' задается no (10.10). Эта необходимость отпадает при
о
Разыскании второй вариации скалярной функции аргумента VR; 2*
36 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. i
тогда в (П.4.23)
8VRT - r]VwT- VRT;
/ ° \ / о \ о (3)
ф ф VRxJ - ф ф VRJ = т]ф0 • • VwT -YRT +
VR
+ Y Vwr-VRr--ф0 0 • VwTVRr-f-... VRVR
Например, при 9(G) -^(G), фс="Е, 4>gg = 0 и по (2)
h (Gx) = /1 (G) + 2tjE- • VR-e-VRT + r)2E- -VR-Vw- VwT • VRr =
= h (G) + 2i]F• •? + T]2F• • Vw-VwT (4)
- конечно, это же выражение непосредственно следует и из (1). При
ф(0)=1/7ЛО), фс(0) = | /77(0) G-1,
Фос (G) - 4 /77(0) G^G1 +1 Vh Go1
и по (2)
VJ7W)~VT^)=У7Ж) {\Ф-1 • о-+
+ ~ц2 - G'- • G-1 • G-1 • -G*+ G-1- - VR-Vw-Vw1-VR' +
+ | G'- -Gg' • -G'j | •
Вычисление входящих сюда выражений по (II.4.20) и правилам свертывания
(1.7.16) дает
yG1- -2VR -B - VRr=-- VRr-G_1- VR - -e = E- -e-V-w,
о о
G_1- -VR-Vw- VwT • VRr = E • ¦ Vw - VwT = Vw - • Vwr,
у G*- -G^G1 -G' =1(G*- -G-l)2= (V-W)2,
1 /n • /"¦> - 1 /"¦> •
у u • • Ug • u =
= - VR-e-VRT- -G-^rV-G-1 (r,rf + rtr,)- -VR-e-VRT =
О О Г 0 00 0-]
= _E. . VRr.G-1rVG-1VR[VR-rirrVR + VRT r^-VRj • e = - e- - Rf R* (R,R( -f
R(RJ- •? = - ?• • (Сш + C")• • e =
= - 2e--e = -•2MO-
§l3] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 37
Были использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток
(1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга. Приходим к
