Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
за qs криволинейные координаты, например, цилиндрические (г, Ф, г),
сферические (91, ft, К). Существенно лишь то, что задается правило
взаимно однозначного сопоставления троек qs и частиц Л.
Движением среды определяется место каждой ее частицы в любой момент
времени t. Оно задается вектор-радиусом
R=-R (qx, р2, q3; t). (3)
Этим определяется актуальная '^-конфигурация - ее гладкое
отображение в момент t на область в евклидором пространстве (c)л
определяемую заданием области изменения материальных координат.
12
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Необязательно считать, что отсчетная у-конфигурация является одной из
актуальных при фиксированном t (например, t = 0); но часто это во многих
отношениях удобно. Тогда
R (q1, q2, q3; 0)-=r(g\ q'\ q*). (4)
Во введенной выше единой для всех конфигураций декартовой системе OXYZ
R = isx* (q1, q\ i), r^i sa* (q\ q\ q*) *) (5)
и, в частности, при qs-as
xs (a1, a2, a3; 0)--as (s - 1, 2, 3). (6)
Требование однозначности отображений (1) и (3) предполагает разрешимость
систем уравнений
as = as (q1, q2, q3), as = xs (q1, q2, q3\ t) (7)
относительно qk. Известно, что необходимым и достаточным условием этого
является необращение в нуль якобианов
Vg^
das УЗ (а', а2, а3) Vg -= д xs <3 (xl, X2, X3)
dqh -УЗ (Я1, q2, q3)' dqk УЗ (q1, q'z, q3J
(8)
в области задания qs\ они положительны при надлежащем согласовании
нумераций координат.
По известному свойству якобианов их отношение
dxs УЗ (х1, х2, х3) dV_ ^
дак
УЗ (a1, a2, a3) dv
равно отношению элементарного объема dV частиц в актуальной конфигурации
к объему dv тех же частиц в отсчетной конфигурации.
Функцию ? (q1, q2, ф!; t) материальных координат и времени, будь то
скаляр, вектор, тензор, вследствие однозначной разрешимости уравнений
(7), можно рассматривать и как функцию или (ак, t), или (xk, t). Конечно,
вместо проекций г, R на оси можно говорить об их компонентах в любом
векторном базисе и принять обозначение
?fa*; *)--?(г; *), ? (q\ t) = ? (R; /). (10)
Эти функции определяют поля величины ? в у- и соответственно '^-
конфигурациях. Первое представление называют материальным, второе -
пространственным. Часто встречающиеся наименования "лагранжево" для ? (г;
t) и "эйлерово" для lF (R; t) не применяются далее. К- Трусделл
указывает, что они не оправ-
*) Векторный базис ц совпадает со взаимным Ч; в последнем декартовы
координаты будут обозначаться as, xs. Это позволит сохранить правило
суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему (немым) индексам.
§2]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
13
даны исторически-Эйлер применял и "лагранжево", а Далам-gep_ "эйлерово""
описание.
Материальное описание - слежение за движением фиксированной частицы qs,
при пространственном - наблюдается протекание во времени процесса в
данном месте. "При движении жидкости, когда деформируемая масса приходит
неизвестно откуда и уходит неизвестно куда, предпочтительно
рассматривать, что происходит здесь и теперь. Но, будучи удобным
кинематически, пространственное описание малопригодно при изучении
принципов механики сплошной среды, так как не то, что происходит в
пространстве, а явления в самой среде определяют законы ее поведения" (К.
Трусделл).
В статических задачах отпадает зависимость R от времени /; вместо 'Дф-
здесь говорится об актуальной ^-конфигурации. Отчетливое различение
конфигураций - необходимая предпосылка понимания всех построений механики
сплошной среды.
§ 2. Векторные базисы
Векторные базисы - исходный и взаимный (I, § 1), в отсчетной конфигурации
задаются тройками векторов (у-базисы)
а единичный (метрический) тензор и тензор Леви-Чивита их представлениями
В актуальной конфигурации применяются соответствующие прописные буквы
(г?/эгбазисы)
ком сверху; в ^-базисах следовало бы применить сверху t, но это не будет
делаться, так как обычно нет нужды фиксировать момент времени. Например,
(1)
Е = gi*rV = -= r,r* = rsrs, 6 =
через их компоненты
A',* W ,Ц'к г'-г\ ду г-г, by.
eskt __ rs. х r<) f еш = rs. (гА х г,).
(3)
R" R s' -= GskRk - ~ &kt R* х R (,
Е -= G,VR'R' G-'RSR,- R,R4 - R RS;
e e^fR,R/;Rt =
(5)
Компоненты вектора и тензора в у-базисах снабжаются нули-
0 о
а - asrs - asrs - asRs asRs,
(6)
о
о
14 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
и т. Д. Такая же система обозначений применяется для символов
Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифференцирования
И' - Г (^Г'+5F"1?)' {/,} - "" [п° "']¦
s] - т (|?+-I?) ¦ {;,}=с" • "¦]•
0 а 0 ая 00
v=rVj' Va=rv^r^VA' (8)
V^RS^' Va=R^^R"R*vA,
так что
^==ri-Ta = var-rJ = Ri-va= VaTR*. (9)
Применяются представления тензоров одновременно в двух конфигурациях,
отсчетной и актуальной, например,
Q. = qamraRm = qamraRm = qmaRmra, (10)
причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.
Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются
формулами
- • дат . dqs г, . дхт • г., .mdqs /11ч г = i - г \ --* к -I - R = 1
/72 - (11)
s mdqs ' да"' *s xtodq*' дх(tm)' ' 4
