Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
симметричных положений равновесия. Случай (б) требует отдельного
рассмотрения.
(r) Обычно критерием устойчивости называют набор условий, близких к
необходимым и достаточным. Чтобы получить критерий, здесь нужно добавить:
"Если хотя бы один мультипликатор лежит вне единичного круга (| р*. | >
1), то решение р(/) не является орбитально устойчивым".
1(r)' Приведенная здесь "наглядная" интерпретация одномерных показателей
Ляпунова полезна, но не точна: показатели Ляпунова определяют поведение
решений линеаризованной (а не исходной) системы. В частности, если Я(хо,
е) < 0, то траектория у(х0 + ее) (для некоторого малого, но
фиксированного е!) не обязана при /->+ оо приближаться к у(хо)-
^ Короткая гл. 3 и значительная часть § 5.4 посвящены явлению, обычно не
происходящему в однопараметрических системах дифференциальных уравнений,
а именно пересечению ветвей на диаграмме стационарных решений. Некоторым
основанием для отдельного рассмотрения этого вопроса является то, что
задачи о распределенных системах часто имеют семейства "тривиальных"
решений, существующих при всех значениях параметра. Бифуркация типа
"вилка" в таких системах вполне обычна.
Тем не менее равноправное изучение точек поворота и точек ветвления не
кажется вполне правильным: бифуркация слияния ( = бифуркация "седло -
узел") встречается практически в любой задаче, а для пересечения
'Однопараметрических семейств стационарных решений нужны специальные
причины.
Примечания редактора перевода
361!
1(r)' В силу данного определения точке поворота диаграммы стационарных
решений отвечает бифуркация типа "седло -узел" (см. § 2.2).
(r) Векторы h(0), ..., "как правило", линейно независимы, если
у матрицы А все собственные числа различны. Если А имеет кратные (без
жордановых клеток), то /i(4) всегда линейно зависимы. Имеется два
варианта придания точного смысла утверждению о "маловероятности".
1) Предположить, что А не имеет кратных собственных значений. Тогда
"наугад выбранный" вектор h(0) дает невырожденную систему (5.3.7): нужно,
чтобы все коэффициенты разложения h(0) по собственным векторам А были
отличны от нуля.
2) Считать, что матрица А тоже выбрана "наугад". Тогда "с вероятностью 1"
все Xj (А) будут различны. Точный смысл последнего утверждения таков. В
Димерном пространстве матриц (N = п2) матрицы с кратными собственными
числами лежат на многообразиях размерности меньше N (при отсутствии в
матрицах жордановых клеток эта размерность не более N - 3).
'10' Авторы не касаются здесь вычислительных аспектов процесса
интерполирования и ограничиваются предложением наблюдать за уклонением аа
от 1. Отсылая заинтересованных читателей к учебникам [14*], [16*] *>,
отметим лишь, что при больших п (п ~> 10) выбор равноотстоящих узлов "о,
• • •, sn очень плох.
Повторяя сказанное ниже авторами, подчеркнем еще раз: название-этого
параграфа шире его содержания. Речь идет здесь только о нахождении
бифуркационного значения параметра (и соответствующих координат положения
равновесия), а не о численном изучении самой бифуркации. См. также
замечания авторов в конце п. 5.8.4 и примечание 13 ниже.
Целесообразно сохранить на этих линиях отдельные точки, отвечающие более
сложным бифуркациям. Таким образом, имеет смысл изображать: а) "линии
кратности" - совокупность всех точек (а, |}), для которых какое-нибудь из
положений равновесия имеет нулевое собственное число; б) "линии
нейтральности" - совокупность всех точек (а, Р), для которых какое-нибудь
положение равновесия имеет чисто мнимые собственные числа.
t13' Последние несколько абзацев - единственное место в книге, где
коротко затрагиваются основные алгоритмические вопросы, связанные с
бифуркацией Андронова - Хопфа. А именно:
1) Как определить, при а < а* или при а > а* происходит рождение цикла из
положения равновесия (здесь а* - критическое значение параметра)?
2) Как найти родившееся периодическое решение при |а - а*|=б<1?
Существующие для этой цели программы используют асимптотику цикла
при б->-0: определяют, в какой двумерной плоскости (приближенно) лежит
родившийся цикл и к какому эллипсу он близок. Эти программы достаточно
сложны.
Предлагаемый авторами "эвристический" подход много проще. Априорно судить
об успешности этого подхода трудно, и здесь разумно положиться на
вычислительный опыт авторов. Заметим лишь, что вполне независимо выбирать
е и 6 нельзя. Родившийся цикл имеет размеры ~ Vs", и при еЗ>-\/б он не
будет пересекать плоскость xk - x'rk + е.
*> См. дополнительный список литературы.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
A. Книги, близкие по теме к этой книге.
За рубежом издано несколько таких книг; укажем здесь три из них, вышедшие
в свет в последние годы.
[1*] Reinboldt, W. С. Numerical Analysis of Parametrized Nonlinear
Equations.- John Wiley, New York, 1986.
[2*] Seydel, R. From Equilibrium to Chaos. Practical Bifurcation and
Stability Analysis. - Elsevier, New York/Amsterdam/London, 1988.
[3*] Roose, D., De Dier, B., Spence, A (eds). Continuation and
