Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 461

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 455 456 457 458 459 460 < 461 > 462 463 464 465 466 467 .. 942 >> Следующая

импульса через заданную точку z, например z = 0,5. Значения v и Т для
волны, изображенной на рис. 6.19, указаны в подписи к рисунку (они были
найдены вычислениями из результатов динамического моделирования). При
более высоких значениях хР волны уже не возникают и система
стабилизируется на устойчивом неоднородном стационарном решении. Более
подробные результаты можно найти, например, в работе [6.31].
6.5.2.2. Волна типа фронта
Фронт представляет собой переход решения системы типа "реакция -
диффузия" от одного устойчивого стационарного решения к другому, причем в
переходном режиме одна часть системы характеризуется значениями одного
решения, а другая- значениями другого решения. Между этими двумя частями
располагается узкая область (фронт), где наблюдается резкая зависимость
физических переменных задачи от пространственной координаты. Указанный
фронт перемещается, в результате чего размеры обеих областей изменяются
до тех пор, пока система не достигнет конечного стационарного состояния,
и фронт исчезнет.
Волну типа фронта мы снова продемонстрируем на примере задачи 12 при
значениях параметров у3 = 3, v0 = 0,01, (3 = 1,5, 6=1,7, а =12.
Стационарные решения системы (Р4-1), (Р4-2) в данном случае имеют вид:
S,: *, = 0,12985, г/, = 0,12404 (устойчивый узел);
S2: *2 = 0,26666, у2 = 0,27906 (седло);
S3: *з= 1,32824, у3 = 5,33927 (устойчивый фокус).
Если для распределенной системы (4.3.7) выбрать граничные условия второго
рода, т. е. условия (4.3.12), то тривиальные стационарные решения
x(z) = x,, y(z)s=yu (6.5.8)
*(z) = *3, y(z)^y3 (6.5.9)
оказываются устойчивыми при Dx = 0,008, Dy = 0,004, L - 2,5, причем от
начальных условий зависит, на каком из этих решений система
стабилизируется.
Переход системы из состояния (6.5.8) в состояние (6.5.9) моделировался
путем изменения начального условия для переменных * и у в точке 2 = 0 в
течение промежутка времени/,:
t <= [0, /,]: * (0, t) = *з, у (0, t) = у3. (6.5.10)
352
Глава 6
Для моментов времени t> t\ вновь действуют граничные условия второго
рода. Состояние системы (в некоторый момент времени) для ^ = 0,1 показано
на рис. 6.20. Скорость движения фронта при этом составляла v ~ 0,115;
весь переход от (6.5.8) к (6.5.9) продолжался приблизительно 22 временных
единицы. При очень малых значениях t\ система возвращается к
стационарному решению (6.5.8). Более подробно эти результаты обсуждаются
в работе [6.31]. Отметим также, что
Рис. 6.20. Волиа типа фронта для задачи 12 при ГУ2: у = 3, Vo = 0,01, Р =
= 1,5, 6 = 1,7, а = 12, Dx - 0,008, Dy = 0,004, L = 2,5; штриховая линия-
решение (6.5.8), штрнхпунктирная - решение (6.5.9).
переходы из одного стационарного состояния в другое могут происходить
либо легко (под влиянием малого возмущения, действующего в течение
короткого времени), либо с трудом, если на границе системы вообще не
реализуемы физически допустимые возмущения.
6.6. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Понятие квазистационарного поведения было введено в § 5.10 'э. В этом
параграфе мы рассмотрим лишь два типичных примера такого поведения для
задач 11 и 13.
Прежде всего мы исследуем эволюцию стационарных структур в задаче 13 при
предписанном изменении (увеличении со временем) длины системы L.
Эволюционная диаграмма для случая ГУ2 изображена на рис. 6.21. Из
сравнения рис. 6.21 с рис. 6.7 можно видеть, что речь идет о движении
вблизи ста-
Напомним, что слово "стационарное" (в составе термина
"квазистационарное") не означает "независящее от времени", а означает
"установившееся" (возможно, достаточно сложное) поведение.
"Квазистационарное" поведение близко к установившемуся в некотором смысле
(не определенном в книге). - Прим. ред.
6.5. Периодические решения в распределенных системах 353
ционарных решений6 по устойчивым ветвям; скачки наблюдаются после
перехода параметра ? через критические значения, отвечающие точкам
поворота на рис. 6.7. Если выбрать коэффициент а, определяющий рост ?,
слишком большим (например, положив L(t) = 6 + 0,002^), то связь между
полученной эволюционной диаграммой и диаграммой стационарных решений на
рис. 6.7 при малых ? уже не будет такой очевидной. Поэтому на выбор этого
коэффициента требуется обратить особое внимание. Если мы, наоборот,
выберем его слишком малым, то необходимое время вычислений окажется
слишком большим.
Рис. 6.21. Эволюционная диаграмма для задачи 13 при ГУ2, р. = 0,0035, v =
= 0,0045, ро = 6-10-4, с = 0,05, с' = 0,025, Dx = 0,01, Dy = 0,45, р = р'
= = 3,2. Величина L изменялась по закону L(t) = 6 + 0,00021; схема
(6.4.3), w = 1/2, п = 48, т = 125. В верхней части рисунка приведены
характерные профили концентрации х.
На рис. 6.22 представлена эволюционная диаграмма по параметру ? для
задачи 13 в случае ГУ1 (остальные параметры выбираются такими же, как на
рис. 6.21); соответствующая диаграмма стационарных решений не строилась.
На этом рисунке, так же как и на предыдущем, приведены характерные
Предыдущая << 1 .. 455 456 457 458 459 460 < 461 > 462 463 464 465 466 467 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed