Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
к 0,7868 0,7770
1 ^5, 6 1 0,5036 0,4901
1Ч8| 0,2028 0,1876
Яд 0,1818 0,1951
1 ^10, 11 I 0,0664 0,0558
А.12 0,0547 0,0568
1 ^13, 14 | 0,0234 0,0170
Т 3,40963 3,40957
видно, что главные мультипликаторы (по абсолютной величине большие 1/2)
для обоих разбиений оказываются практически одними и теми же. Поскольку
|A,2i3|;> 1, данное периодическое решение оказывается неустойчивым.
Величина |Х2, з| невелика, и можно говорить о слабой неустойчивости: при
динамическом моделировании с начальным условием вблизи этого решения
соответствующая траектория будет очень медленно "разматываться", уходя от
этого периодического решения.
На каждой из ветвей пространственно несимметричных решений была найдена
точка бифуркации, при которой рождается инвариантный тор (обозначенная
как Т\ на рис. 6.15; обе ветви на изображенной здесь диаграмме решений
сливаются).
Таблица 6.14. Сравнение бифуркационных значений L* точки Т1 (рис. 6.15)
при различных п.
п L*
5 ие найдена
10 1,35944
20 1,36760
40 1,36989
Экстраполяция по Ричардсону 1,37065
6.5. Периодические решения в распределенных системах
345
В табл. 6.14 приведены бифуркационные значения L* для точки Т\, найденные
при различных п. Значение L*, подсчитанное с помощью экстраполяции по
Ричардсону для п = 20 и
у(0,5)
2,4
2,2,7 2,9 3,1 *(0,5)
Рис. 6.16а. Проекция орбиты отображения Пуанкаре при L = 1,4050.
п - 40, иллюстрирует точность определения этой величины в зависимости от
п.
у( 0,5)
2,4
2,0 , ,
2,7 2,9 3,1 *(0,5)
Рис. 6.16Ь. Проекция орбиты отображения Пуанкаре при L - 1,4070.
На рис. 6.15 показаны, кроме того, еще две другие точки бифуркации
рождения инвариантного тора (Т2,Тз), лежащие на другой ветви
периодических решений.
I
346
Глава 6
В окрестности точки бифуркации Т\ при L > L* мы с помощью динамического
моделирования нашли устойчивый инвариантный тор. На рис. 6.16а изображена
проекция орбиты отображения Пуанкаре для траектории на этом инвариантном
торе. При возрастании величины L указанный тор теряет устойчивость и
рождается "удвоенный" устойчивый тор (рис. 6.16Ь). При этом отображение
Пуанкаре в обоих случаях определяется уравнением х(0, 3; ?) = 2. При
возрастании значений параметра L можно наблюдать последовательность
нескольких дальнейших "удвоений" тора. Учитывая слабую неустойчивость
существующих одновременно периодических решений, можно было наблюдать
медленное приближение траектории к устойчивому инвариантному тору. Если
начальная точка выбиралась в окрестности периодического решения, то для
того чтобы решение стабилизировалось на устойчивом инвариантном торе, нам
приходилось интегрировать в течение времени порядка нескольких тысяч
периодов.
6.5.1.2. Метод конечных разностей
Заменим дифференциальные уравнения (4.3.7) конечно-разностными по схеме
Кранка-Николсона (6.4.3) при до = 0,5 и т = Т/m. Мы получим систему
Т М+| - *0 - W +ХИ'"\ -
t( /+1/2 / + 1/2Х
- f[*t • У i ) = 0> (6.5.4а)
*{+1'2=тИ+1 + *0; у1+112~т(у1+1 + у 0
т (у\+1 ~ у{) ~ w Щ+-Т - Щ+'12 + у\%I'2] -
~ g(xi+l,2> У{+1/2) - ^ (6.5.4Ь)
при i=l,2, ..., п-1 и / = 0,1, ..., m-1. Граничные условия 1-го рода,
дают уравнения (6.4.4) для / = -1, 0, 1, ... ..., m - 1, а из условия
периодичности (6.5.1) находим
x^ - xf - 0, y°i-yf = 0, i= 1, 2, ..., п- 1. (6.5.4с)
Тем самым в целом у нас имеется N = 2(п + 1) (m + 1) уравнений (6.5.4а),
(6.5.4Ь), (6.5.4с), (6.4.4) относительно N + 1 неизвестных х\, у[, Т.
Точно так же, как и в п. 5.8.2, зафиксируем какую-либо одну компоненту
решения, например x°v оста-
6.5. Периодические решения в распределенных системах
347
вив период Т в качестве неизвестной. Полученную систему нелинейных
уравнений можно решать, например, с помощью метода Ньютона, причем
системы линейных алгебраических уравнений, возникающие на каждой
итерации, решаются с помощью подходящего алгоритма для почти ленточных
матриц. Получающиеся при этом системы имеют большие размеры, и поэтому
этот метод удобно реализовывать лишь на достаточно мощных ЭВМ и при не
слишком больших размерах тип. Периодическое решение задачи 11, найденное
таким методом для относительно редкой сетки узловых точек, представлено в
табл. 6.15.
Таблица 6.15. Периодическое решение задачи 11 с граничными условиями типа
ГУ1, найденное из конечно-разностных уравнений (6.5.4); А = 2, В = 5,45,
DK = 0,008, Dy = 0,004, L = 0,75, m - 19, n = 5. Окончательное значение T
= 3,3073; в качестве фиксированного значения одной из неизвестных
выбиралось у\ = 3,4. Найденное решение является симметричным по
переменной z относительно точки z = 0,5; поэтому х| = Д, х[ = х{, i/| =
(/?
И = !/{¦
I X1 Х1 X1' 2 у{ "2
0 1,539 1,238 3,400 3,769
1 1,592 1,241 3,422 3,906
2 1,692 1,294 3,379 3,986
3 1,851 1,424 3,251 2,973
4 2,073 1,693 3,023 3,783
6 2,570 2,868 2,392 2,504
8 2,667 3,232 2,069 1,683
10 2,368 2,632 2,187 1,926
12 2,023 2,102 2,474 2,324
14 1,755 1,708 2,799 2,758
16 1,586 1,433 3,101 3,196
18 1,524 1,272 3,331 3,598
