Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
< + т; [If + w(r)r] = -5Ш1'
w" + T^[wVl + TfWl]=SWR-
Граничные условия для функций vr, Vi, (r)r, wi с учетом формул (4.3.9)
имеют вид
vr (0) = vi (0) = wr (0) = Wi (0) = 0, (6.3.35)
Vr (1) = Vi (1) = Wr (1) = Wi (1) = 0. (6.3.36)
Собственная функция u = (v, w) определена с точностью до ненулевого
комплексного множителя. Это означает, что для функций v(z) и w(z) мы
можем достаточно произвольно задать два фиксированных ненулевых значения.
Двумя возмож-
6.3. Нахождение точек ветвления
325
ными примерами такого выбора могут служить условия
(6.3.37а)
или
o'R(0)=l, 0)=1.
(6.3.37b)
Читатель сам может предложить другие комбинации.
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных
уравнений (6.1.1), (6.1.2), (6.3.34) (суммарно
12-го порядка) с 14-ю граничными условиями (4.3.9), (6.3.35) - (6.3.37) и
с двумя параметрами s, L, которые нам предстоит определить в точке
комплексной бифуркации. Число уравнений "согласовано" с числом
неизвестных, и описанную задачу можно пытаться решать либо с помощью
разностных методов, либо методом стрельбы. Рассмотрим здесь оба этих
подхода.
Разностный подход. Заменим вторые производные простейшими трехточечными
центрально-разностными соотношениями. В результате вместо уравнений
(6.1.1), (6.1.2) и (6.3.34) мы получим следующую систему (ср. с
(6.3.31)):
где i - 1, ..., n - 1.
Дополним эту систему очевидными граничными условиями:
х0 = хп = х, Уа = уп = у, "15,0 = 01,0 = ^,0 = 02)1.0 = 0;
OR, п = 01, " = WR, п = WI, п = о.
Тем самым мы получим систему 6(л+1) нелинейных (алгебраических) уравнений
относительно 6(л+1) + 2 неизвестных
Xi, У1, Or, i, Vl, i, WR,iWhi, (/ = 0, ..., п), S, L.
В качестве двух недостающих условий можно, например, взять соотношения
(6.3.37а). Полученную в результате систему 6(п+1) + 2 нелинейных
алгебраических уравнений можно решать с помощью метода Ньютона.
В п. 6.3.3.1 мы рассмотрели аппроксимацию исходных дифференциальных
уравнений в частных производных системой
Xi - 1 2Х{ -(- Х[+1 -}- ^ fi 0, fi f(Xj, У(),
Уi~i - tyt + yi+\+ ~п- St = 0" Si = 8 (xt, Уд, (6.3.38)
U у
WU i - 1 - 2ayI. i + Wh 2 + 1 + -Щ- (gx, 201, 2 + gy. iWi, i) = SWR, t,
326
Глава 6
обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода прямых. Точку
комплексной бифуркации для этой аппроксимирующей системы (6.3.31) можно
найти с помощью одного из методов, описанных в параграфе 5.5. При этом,
если воспользоваться для решения указанной системы прямым итерационным
методом в его несокращенной версии, которая была описана в п. 5.5.3, то
нетрудно показать, что получающаяся нели1 нейная (алгебраическая) система
имеет тот же самый вид, что и система (6.3.38), если подходящим образом
выбрать для нее граничные условия!). Это утверждение читатель может легко
проверить самостоятельно.
Метод стрельбы. Этот подход мы продемонстрируем на примере задачи 14, т.
е. уравнений (Р14-7), (Р14-8) с граничными условиями (Р14-9), (Р14-10).
Правые части этих уравнений отличаются от правых частей уравнений (4.3.7)
членами с первой производной; кроме того, имеются различия и в граничных
условиях (представляющих собой комбинацию граничных условий 1-го и 2-го
рода). В качестве бифуркационного параметра выберем параметр Da и положим
Le = 1.
Обозначим Е = ( 1-у) ехр (0/(1 + 0/у)) и запишем уравнения, которым
должны удовлетворять стационарные решения
Уравнения (6.3.33) для этого случая (в компонентах v, w) записываются
так:
pi-i/"-/ + Da? = 0, гем
(6.3.39)
- 0" - 0' + В Da Е - р (0 - 0С) = 0.
(6.3.40а) (6.3.40Ь)
Рен
W,
;-^ + Da[|^uR +Цшк] = -5щ, (6.3.41)
v" - v[ + ЪзЩ- О! + Ц Wl] = svR,
^ + SDa[||oR + ||ffi>R]-NR = -^i, w[ + В Da [-^- vx + JJ (r)i] - Pa/i =
swR.
l) Имеются в виду дополнительные уравнения типа (6.3.37). - Прим.
ред.
6.3. Нахождение точек ветвления
327
Граничные условия для функций v и w получаются из условий (6.3.40) в виде
Для решения системы шести дифференциальных уравнений второго порядка
(6.3.39), (6.3.41) воспользуемся методом стрельбы. Недостающие начальные
условия выберем в точке z= 1 (это связано с тем, что соответствующие
задачи Коши неустойчивы, если двигаться от точки г = 0 к точке z= 1, см.
п. 6.1.2):
Вместе с условиями (6.3.40Ь) и (6.3.42Ь) мы получаем 12 начальных
условий, необходимых для интегрирования уравнений (6.3.39) и (6.3.41).
Поскольку собственная функция
u = uR + iur = (yR, wR)-f t(oi, wi)
определена с точностью до ненулевого комплексного множителя, для функций
uR и Ui можно зафиксировать два каких-либо конкретных значения; например,
можно задать oR(l) = Oi(l) =1 (т. е. положить в (6.3.43) г)3 = т|4 = 1).
В точке 2 = 0 мы получаем шесть нелинейных уравнений (6.3.40а) и
(6.3.42а) относительно шести неизвестных тр, т]2, Ps, 116, s и Da. Эту
систему можно решать методом Ньютона, причем матрица Якоби вычисляется с
помощью уравнений в вариациях, либо исходя из соответствующих разностных
формул. Пример сходимости метода Ньютона к точке комплексной бифуркации
