Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 449

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 443 444 445 446 447 448 < 449 > 450 451 452 453 454 455 .. 942 >> Следующая

Ь) для задачи 11, А =2, Dx - 0,0016, Dy = 0,008; сплошные линии - Q = 0,
прерывистые - Р = 0.
ментарной бифуркационной длиной; остальные бифуркационные длины
оказываются кратными элементарным бифуркационным длинам.
Для значения L+, при котором имеет место комплексная бифуркация, из
соотношений (6.3.11) находим
rDx + Dvii/2
Ltn = 4^r+i\ • Q.(L<t,)>0. (6.3.15)
316
Глава 6
Формула (6.3.14) остается справедливой и в этом случае, т. е.
L(t) = "L(t). (6.3.16)
Условия существования бифуркационных длин в зависимости от величины
отношения Dx/Dy и коэффициентов о,у приведены, например, в работе [5.10].
Если построить графики зависимостей величин L* и L+ от другого параметра
задачи а, то мы получим бифуркационную диаграмму первичных бифуркаций.
Такого рода бифуркационная диаграмма представлена схематически на рис.
6.10а. При а < aj не существует какой-либо бифуркационной длины, при a е
(ai, a2)U (а3, а4) имеются два значения L*l} а при a е (a2, a3)U(a4> °°)
имеются два значения L*,) и одно значение L+y На рис. 6.10b эта диаграмма
изображена для задачи 11 (показаны также значения некоторых "кратных"
бифуркационных длин L^). Читатель может сравнить точки первичных
бифуркаций на рис. 6.3 и 6.4 со значениями L на рис. 6.10b.
6.3.2. Нахождение точек вещественной бифуркации
Рассмотрим теперь две группы методов нахождения точек вторичных
вещественных бифуркаций. (Эти методы, разумеется, пригодны и для
нахождения точек первичной бифуркации, однако для этого случая выше
описан более простой подход.) Первую группу составляют разностные методы,
тогда как методы второй группы основываются на методе стрельбы.
6.3.2.1. Разностные методы
Рассмотрим для простоты краевую задачу (6.2.1), (6.2.2). Необходимым
условием существования вещественной бифуркации является требование, чтобы
линеаризованное уравнение
б" _ dfjz, у уCQ _ у', а) й, = ( '
ду ду ' '
с граничными условиями
Oq6 (0) + bQ6' (0) = 0, at6 (1) + byb' (1) = 0 (6.3.18)
имело ненулевое решение. Если такое решение 6 (г) существует, то сб(г)
также будет решением. Чтобы выделить одно конкретное решение, нужно некое
условие нормировки. Одна из возможностей заключается в том, чтобы выбрать
6(0) =1
(6.3.19)
6.3. Нахождение точек ветвления
317
в случае, когда Ьо Ф 0. (Если Ьо - 0, то можно положить б'(0) = 1.)
Уравнения (6.2.1), (6.3.17) вместе с граничными условиями (6.2.2),
(6.3.18), (6.3.19) представляют собой нелинейную краевую задачу, число
условий в которой на единицу превышает порядок системы. Это, однако,
компенсируется тем, что параметр а мы рассматриваем в качестве
неизвестной; решив краевую задачу, мы получим значение а, отвечающее
вещественной бифуркации. Замена данной задачи соответствующими
разностными формулами приводит к системе нелинейных (алгебраических)
уравнений с почти ленточной схемой размещения (ленточный характер матрицы
нарушает столбец, который соответствует неизвестной а). Результаты так
проведенных расчетов для задачи 16 представлены в работе [6.10].
Другую возможность применения разностных методов можно продемонстрировать
при нахождении точек поворота в задаче 17!). Введем следующие
обозначения:
г <ЭF dG дН /с "
f~dk' s " dk ' h ~~ dk ' (6.3.20)
Продифференцировав уравнения (P17-16) - (P17-18) по переменной k, найдем
f" = д/Ri" (hF' + Hf') + Re (2Ff - 2Gg + 1), (6.3.21a)
g" = 2 Re (Fg + fG) + УМ/Я + G'h), (6.3.21b)
A' = -2 VRe~ f, (6.3.21c)
A (0) = / (0) = A (1) = f (1) = g (0) = 0, g(l) = S'(A). (6.3.21d)
В точке поворота (по параметру S) должно быть
-g- = 0, т. е. g(l) = 0. (6.3.22)
Таким образом мы получаем систему шести дифференциальных уравнений (Р17-
16), (Р17-17), (Р17-18), (6.3.21а), (6.3.21Ь), (6.3.21с) (имеющую
суммарно десятый порядок) и двенадцать граничных условий (Р17-19), (Р17-
20), (6.3.21 d), (6.3.22). На
Напомним, что в этой задаче: а) искомыми являются функции F(z). G(z),
H(z) и число К; б) в уравнение (Р17-16)-(Р17-18) входят два
(безразмерных) параметра - число Рейнольдса Re и отношение угловых
скоростей дисков S. Зафиксируем Re и будем искать "точку поворота" по
параметру S. При приближении S к критическому значению S* k' (S) -
. с i/2 / dF dG дН \
IS - S* I *'•" оо I аналогично ведут себя -^г, ¦
Для S, близких к S*, примем за параметр k и положим S = S(k), F = F (z,
k) ... . - Прим. ред.
318
Глава 6
первый взгляд задача переопределена; на самом деле это не так, поскольку
кроме f(z), g(z), h(z) ищутся значения двух неизвестных k и S.
Для решения указанной нелинейной краевой задачи использовались
стандартные разностные замены на сетке с узлами Zi = ih, i = 0, 1, ...,
га, h=\/n (аналогичные заменам вида
Рис. 6.11. Бифуркационная диаграмма задачи 17.
(6.1.23)). В частности, уравнению (6.3.2 lb) отвечает разностная система
= 2 Re (F,a + f ,G,) +
+ VR
а уравнению (6.3.21c)-соотношения вида
ki = - УЙё~(/<+ /i-i), г'=1, 2, ...,".
Если ввести вектор неизвестных величин
X = {Н0, h0, Fo, fo, G0, g0, Hi, hi, Fy, ...
Предыдущая << 1 .. 443 444 445 446 447 448 < 449 > 450 451 452 453 454 455 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed