Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
читатель может найти в сборнике [6.16].
6.2.4. Метод отображения параметра
В некоторых случаях оказывается возможным достаточно быстро построить
диаграмму стационарных решений, если к выбранному значению некоторого
начального условия с помощью" интегрирования задачи Коши мы добавим
соответствующее-значение параметра. Аналогичный подход был описан для
"сосредоточенных" систем в п. 5.2.1. Так же, как и там, возможность
применения этого подхода зависит от конкретного вида дифференциальных
уравнений и граничных условий, а также or того, как входит в уравнения
выбранный параметр. Поэтому мы продемонстрируем применение указанного
метода на двух конкретных задачах из гл. 4. Более общие соображения
читатель может найти в книгах [6.8, 6.9] и в приведенной в них
библиографии.
Будем строить зависимость решения задачи 16 от параметра Ф. Для
стационарного случая мы свели эту задачу к одному дифференциальному
уравнению второго порядка (6.1.21) с граничными условиями (6.1.16а,с).
Введем новую независимую переменную
г = Фг.
(6.2.43>
310
Глава 6
Тогда дифференциальное уравнение (6.1.21) приведется к виду
d^y_ a_dy__ -YP.(lziy) - q 16 2 441
dz2 ^ z dz ^exp l + p (1 -y) u'
т. e. не будет содержать Ф.
Граничные условия приобретут вид
2 = 0: -^ = 0, (6.2.45а)
2 = Ф: у= 1. (6.2.45Ь)
Выберем теперь недостающее начальное условие в виде
У (0) = г], 0<т]<1 (6.2.46)
л проинтегрируем полученную задачу Коши (6.2.44), (6.2.45а), (6.2.46) от
z = 0 до точки z = Z\, в которой
y{zx) = 1. (6.2.47)
Значение zx определяет значение параметра Ф, соответствующее выбранному
начальному условию т] (и найденному решению i/(z)):
2! = Ф. (6.2.48)
Для выполнения равенства (6.2.47) можно воспользоваться каким-либо
методом последовательных приближений, например методом деления промежутка
пополам. Процесс можно, например, реализовать так. Когда в процессе
интегрирования становится y(z)> 1, мы возвращаемся на один шаг назад и
продолжаем интегрирование с более коротким шагом (например, уменьшенным
вдвое). По достижении достаточно короткого шага процесс прекращается.
Опишем коротко неитерационный способ нахождения величины Zi.
Проинтегрируем уравнение (6.2.44), переписав его в виде системы двух
дифференциальных уравнений первого порядка,
dy dw а . yP (1 - w) п ЛП\
1Д = Ш' = - Тш + ^ехР1 + р(1-у) ¦ (6-2-49)
с начальными условиями (6.2.45а), (6.2.46), т. е. с условиями У (0) = г),
да(0) = 0. В некоторой точке z > 0, где у(2) = у<1 я dy/dz = у', мы
переходим к интегрированию дифференциальных уравнений вида
- - - - l У одр YP(t -У) dz_ - l_ 162501
dy 2 + "eXPl+P(l-y)' dy~ W
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
311
от у - у, где w (у) = у', z(y) - z до у - 1. После этого полагаем г(1) =
Ф (ср. аналогичный процесс вычисления отображения Пуанкаре, п. 5.9.2).
Полученные таким образом значения Ф для последовательности значений т]
приведены в табл. 6.9. Из этих данных видно, что при р = 0,4 для
определенного интервала значений ф (например для Ф = 0,3) существует три
решения исходной краевой задачи. Читатель может сравнить результаты,
полученные при р = 0,05, с результатами, приведенными в табл. 6.1.
Таблица 6.9. Результаты применения метода отображения параметра для
задачи 16 (у = 20, а - 0). Значения Ф.
и 0 = 0,05 Р = 0,2 (3 = 0,25 "СО II О Ф"
0,95 0,31639 0,29742 0,29139 0,27419
0,85 0,55044 0,45896 0,43259 0,36368
0,8 0,63823 0,50212 0,46467 0,37080
0,75 0,71757 0,53330 0,48487 0,36820
0,65 0,86298 0,57434 0,50498 0,34981
0,55 1,00294 0,60044 0,51174 0,32628
0,5 1,07453 0,61114 0,51324 0,31494
0,45 1,14920 0,62160 0,51468 0,30455
0,3 1,41268 0,66137 0,52646 0,28254
0,25 1,52519 0,68178 0,53618 0,27952
0,2 1,66101 0,70946 0,55150 0,27975
0,1 2 08042 0,81140 0,61687 0,29753
0,02 3,06664 1,09463 0,81559 0,37686
0,01 3,49531 1,22341 0,90755 0,41554
0,001 4,92385 1,65658 1,21770 0,54695
Другим примером, на котором мы рассмотрим возможности метода отображения
параметра, является система типа "реакция-диффузия" (4.3.16) при Dy ->-0.
В этом предельном случае второе уравнение системы (4.3.16) сводится к
конечному уравнению вида
g(x, у) = 0, (6.2.51)
решая которое, мы находим зависимость у(х) (часто в аналитическом
виде). Подстановка в уравнение (6.1.1) дает
х"=-^ У = - дг f (*)• (6-2-52>
Положив
l = Lz,
(6.2.53)
312
Глава 6
получим уравнение, не содержащее параметра L:
-0-=-7(6-2'54)
Рассмотрим для примера граничные условия 1 рода (4.3.9). Для уравнения
(6.2.54) они принимают вид
1 = 0: х = х\ 1 = L: х = х. (6.2.55)
Зададим дополнительно при g = 0
= (6.2.56)
после чего проинтегрируем уравнение (6.2.54) от ? = 0, где
л-(0) = х, x'(0) = ri, до такого значения ? = L, где x(L) - x. Это
значение L мы и сопоставим выбранному тр
6.3. НАХОЖДЕНИЕ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим итерационные методы для нахождения точек
ветвления стационарных решений распределенных систем. В п. 6.3.1 мы будем
находить так называемые точки первичной бифуркации. Пункт 6.3.2 посвящен
