Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивые решения.
Часть диаграммы решений для задачи 12 в случае ГУ2, содержащая только
элементарные решения, представлена на рис. 6.5. При выбранных параметрах
задача имеет три тривиальных решения (они указаны в описании к рисунку,
так что читатель может сравнить эти данные с данными рис. 5.6Ь и 5.20е).
Точно так же, как и в случае рис. 6.3, мы можем под-
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
305
считать число решений при больших L, полученных путем сложения
элементарных решений. Диаграммы решений с использованием условий типа ГУ1
представлены на рис. 6.6 для случая граничных условий, определяемых
тривиальным решением № 3, указанным в описании к рис. 6.5.
На рис. 6.7 изображена диаграмма решений задачи 13 в случае граничных
условий ГУ2. Здесь же частично представлены решения, полученные сложением
решений, и указан характер устойчивости отдельных ветвей.
Рис. 6.5. Диаграмма решений для задачи 12 при ГУ2, а = 12, р = 1,5, у = =
3, 6=1, v0 = 0,01, ?>х = 0,008, Dy = 0,004; т)! = лс(0), И2=</(0).
Тривиальные решения в системе без пространственных градиентов (?)х = = Dy
- 0):
1 *i Si Тип решения Бифуркационная длина L*
1 0,1157 0,1962 устойчивый фокус
2 0,3728 0,8915 седло 0,1965
3 0,7006 3,5106 неустойчивый фокус 0,1516, 0,2630
Покажем теперь, как изменится схема алгоритма в случае задачи 14. Будем
искать зависимость решения уравнений (6.1.35а,Ь) с граничными условиями
(6.1.36а, Ь) от параметра Da. Выберем два недостающих начальных условия в
форме (6.1.37) и положим в точке 2 = 0
^(Л, Da) = Рему (0) - у' (0) = 0,
F2 (Л, Da) = Рен0 (0) - 0' (0) = 0. (6-2.41)
Вариационные уравнения для переменных ру\=ду/дць ру2 = = ду/д т)2, ру Da
= ду/д Da, pm = дв/дци р02 = дв/дц2, Ре Da = = (30/(3 Da читатель может
легко получить дифференцированием уравнений (6.1.35а,Ь) по тц, Лг и Da.
Начальные условия
20 М. Холодннок и др.
306
Глаза 6
Рис. 6.6. Диаграмма решений для задачи 12 при ГУ1. х = 0,7006, у =
3,5106;. rii = jc' (0), г)2 = у'(0). Остальные параметры указаны на рис.
6.5; s - устойчивые, п - неустойчивые решения.
для них выбираются нулевыми, кроме условий p!/i(l)=l>. рв2(1)=1. При этом
матрица Якоби системы (6.2.41) будет иметь вид
rP<WV(0)-P;i(0). PeMP,2(0)-p;2(0), PeMPj, Da (0) p'y Da (0) "1
LPeHPei (°) - Pei (°). PeHPe2(0)-p;2(°). PeHPeDa(0)-PeDa(°) J'
(6.2.42)
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
307
Диаграмма стационарных решений, полученная этим методом1), приведена на
рис. 6.8. При Da = 0 начальную точку зависимости можно найти
аналитически. Сравните число решений для различных значений параметра Da,
приведенных в табл. 6.4 и 6.5.
Рис. 6.7. Диаграмма решений для задачи 13 при ГУ2; р. = 0,0035, v =
0,0045, Ро = 6-10-4, с = 0,05, с' = 0,025, р = р' = 3,2, Dx = 0,01, Dv =
0,45, тц - л (0). ti2 = y(0); сплошные линии-устойчивые, прерывистые -
неустойчивые решения.
В заключение этого пункта проиллюстрируем, как найти зависимость решения
от параметра в случае задачи 15. Здесь годится подход, вполне аналогичный
тому, который использовался нами в задаче 14 (в чем, впрочем, мы могли
убедиться еще в предыдущем параграфе). Итак, будем искать зависимость
решения уравнений (Р15-6), (Р15-7) совместно с нелинейными
^алгебраическими) уравнениями (Р15-8), (Р15-9) от параметра Da. Граничные
условия вновь имеют форму (6.1.36а,Ь). Два недостающих начальных условия
в точке 2=1 выбираем в
!) То есть применением алгоритма DERPAR к нахождению кривой Нг, Da) =
Д2(т] 1" Лз, Da) = 0. - Прим. ред.
9(1*
308
Глава 6
Рис. 6.8. Диаграмма решений для задачи 14. Рем = 10, Рен = 5, В = 15.
р = 2, ес = о, у = 20, Ti, = ",(i), % = e(i).
Рис. 6.9. Диаграмма решений задачи 15. Зависимость температуры на выходе
г|2 = в(1) от параметра Da. Рем = 20, Рен =10, р = 1, В = 10, у = 20*
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
309
соответствии с формулами (6.1.37), а в точке z - 0 имеем два нелинейных
уравнения вида (6.2.41). Вариационное уравнение для ру\ имеет вид
(6.1.40). Вариационные уравнения для остальных переменных (6.1.39), а
также для переменных рут>а = dy/dDar РвDa = <30/(3 Da выводятся
аналогично. При этом матрица системы (6.2.41) имеет вид (6.2.42).
Напомним, что на каждом шаге интегрирования уравнений (Р15-6), (Р15-7), а
также соответствующих вариационных уравнений нам необходимо вычислять
значения переменных (6.1.41),. т. е. переменных <3(c)/ду, д(c)/<30, <30/<3у,
дв/д@. Эти значения мы находим по формулам (6.1.43) так же, как это
делалось в § 6.1.
На рис. 6.9 приведена диаграмма решений рассматриваемой задачи в
зависимости от параметра Da. Как видно из рисунка* в узком интервале
значений параметра данная задача имеет 5 решений. Для указанных значений
параметров уравнение (Р15-11) имело только одно решение (c) в промежутке
[y(z), 1] при любом ге[0, 1].
Построение диаграммы решений несколько осложняется в тех случаях, когда
уравнение (Р15-11) имеет несколько корней. Подробный анализ задачи 15
