Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 445

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 439 440 441 442 443 444 < 445 > 446 447 448 449 450 451 .. 942 >> Следующая

алгоритма продолжения типа "предиктор-корректор" читатель легко может
построить самостоятельно.
6.2.3.2. Алгоритм, основанный на методе стрельбы
Идею этого метода мы теперь продемонстрируем на примере задачи (6.1.1),
(6.1.2) с граничными условиями (6.1.4). Зададим снова два недостающих
начальных условия в точке г = 0 (см. (6.1.24)): x(0)=T|i, у(0) =112.
Интегрируя уравнения (6.1.1),
(6.1.2) с начальными условиями (6.1.4а), (6.1.24) при некотором
значении параметра L, мы должны получить в точке 2=1
Таким образом, у нас имеются два уравнения относительно трех неизвестных
тц, т)2, L. Для нахождения соответствующей кривой в пространстве
(т)1,т)2, L) мы можем использовать алгоритм DERPAR, описанный в § 5.2.
Для вычисления матрицы Якоби
используем вариационные переменные р*,, pyi, определяемые соотношениями
(6.1.26) - (6.1.28), а также переменные
для которых нетрудно получить следующие уравнения в вариациях:
Л(Ль %> L) = x'{\, ть L) = 0, }*2 (Ль Ц = У'( 1, П,
?) = 0.
(6.2.32)
Г dF 1 dF 1 dF, -1
дтц ' drj2 ' dL
dF2 dF2 dF2
(6.2.33)
L дтц ' drj2 ' dL
PxL = дх/dL, pyL = dyjdL,
(6.2.34)
с начальными условиями
PXL (0) = p'xL (0) = PyL (0) = p'yL (0) = 0. (6.2.36)
302
Глава 6
Частные производные в уравнении (6.2.33) задаются формулами (6.1.29), а
также соотношениями
%T = PU( О, Ж~Рй<Ц. (6.2.37)
Таким образом, мы имеем все необходимое для использования алгоритма
продолжения DERPAR (см. п. 5.2.3): можем вычислить функции Fi и Р2 по
формулам (6.2.32), а также матрицу Якоби (6.2.33). Для одного такого
вычисления нам необходимо решить задачу Коши для восьми дифференциальных
уравнений второго порядка (6.1.1), (6.1.2), (6.1.27) и (6.2.35), т. е.
для системы 16-го порядка.
В случае ГУ1 алгоритм изменяется в соответствии с формулами (6.1.30),
(6.1.31), (6.1.32); при этом частные производные, входящие в матрицу
Якоби (6.2.33), имеют вид
<5^1 " /1\ dFt ... dF:
дтц Р* 1 ( )' дц2 Рх2 ( ) ' ~дТГ Р*?.(1).
Л яг (6.2.38)
дго /1\ Ur о /1\ дго /1\
-^¦ = Pffl(l), ~д^ = Ру2 (О. -^27=Руь(1)-
Приведенный подход, основанный на методе стрельбы и вариационных
дифференциальных уравнениях, называется в литературе методом GPM [6.8,
6.13, 6.14].
Диаграмма решений, найденная с помощью метода стрельбы и алгоритма
продолжения DERPAR для задачи 11 в случае ГУ2, представлена на рис. 6.3
[6.15]. Здесь же приведены решения, полученные с помощью
"суммирования" (профилей) решений
(см. формулу (4.3.17)). Для некоторых ветвей указана устой-
чивость соответствующих решений. Из рисунка видно, что при больших L
существует значительное число различных стационарных решений. Попробуем
оценить это число. Рассмотрим ветвь элементарных решений, т. е. решений,
которые не могут быть получены путем "сложения" решений с меньшими L.
Пусть такая ветвь существует при Le (Li, Ai + AAi). Если мы выберем
максимально широкие промежутки существования, то тогда Li и Ai + AL;
представляют собой координаты точек бифуркации. Фиксируем теперь длину L
и исследуем, сколько различных решений, полученных "сложением" из решений
этой ветви, будет существовать для такого L. Это число равняется разности
"'-И-кта:]- (6'2'39)
где квадратные скобки означают целую часть заключенного в них отношения.
Если теперь взять все известные ветви элементарных решений, то общее
число различных решений для
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
303
длины L будет равно
N=1 + Znu (6.2.40)
i
где единица представляет собой (при всех L) существующее тривиальное
решение х = А, у^В/А. Эти рассуждения остаются справедливыми для любых
систем типа "реакция-диффузия" с граничными условиями типа ГУ2. Если нам
известны не
Рис. 6.3. Диаграмма стационарных решений для задачи 11 при ГУ2, А = 2, В
= 4,6, Dx - 0,0016, Dy = 0,008, тц = х(0); s - устойчивые, n -
неустойчивые решения.
все ветви элементарных решений, то тогда выражение (6.2.40) дает нижнюю
оценку числа решений для данного L. Так, при L = 1 на основании рис. 6.3
мы находим, что существует минимум 35 стационарных решений задачи 11 для
случая ГУ2 (см. табл. 6.8 с учетом того, что существуют еще тривиальные
решения задачи (при любых L)).
Пример диаграммы стационарных решений для задачи 11 в случае ГУ1
представлен на рис. 6.4, а более полную картину решений наряду с
профилями x(z), y(z) читатель может найти в [6.15]. У некоторых ветвей на
рис. 6.4 указан характер их
304
Глава 6
Таблица 6.8. Число Nt стационарных решений задачи 11 для случая ГУ2 (L =
1), полученных М,-кратным "сложением" элементарных решений при L = Li, А
= 2, В = 4,6, Dx = 0,0016, Dy = 0,008.
i N{ Mi Lt
1 2 12 1/12
2 2 11 1/П
3 2 10 0,1
4 2 9 1/9
5 2 8 0,125
6 2 7 1/7
7 2 6 1/6
8 2 5 0,2
9 4 3 1/3
10 14 2 0,5
устойчивости. Отметим также, что операция "сложения решений" в случае ГУ1
оказывается невозможной.
Рис. 6.4. Диаграмма решений для задачи Д1 при ГУ1, А .= 2, 13 = 4,6, Dx =
= 0,0016, Ду = 0,008, тц = х'(0), г\2 = у'(0)', s - устойчивые, п -
Предыдущая << 1 .. 439 440 441 442 443 444 < 445 > 446 447 448 449 450 451 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed