Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
метода дифференцирования по граничному условию читатель может найти в
работе [6.8]..
6.2.3. Алгоритм продолжения типа предиктор - корректор
Как уже отмечалось в предыдущем пункте, зависимости решения от параметра,
полученные методом дифференцирования по параметру (или методом
дифференцирования по граничному условию) при продвижении вдоль кривой на
диаграмме решений могут все более отклоняться от нее. Поэтому здесь, так
же как и в § 5.2, мы попробуем построить алгоритм, который будет
корректировать такого рода отклонения. В качестве корректора будет
использоваться метод Ньютона для соответствую-
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
299
ацим образом сформулированной задачи, а функцию предиктора возьмут на
себя описанные выше методы. Это и будет первый вариант алгоритма
продолжения типа "предиктор-корректор", основанный на соответствующих
разностных заменах исходной задачи (п.п. 6.2.3.1). Другой вариант этого
алгоритма (п.п. 6.2.3.2) основывается на использовании метода стрельбы.
>6.2.3.1. Алгоритм, основанный на разностных методах
В качестве примера рассмотрим вновь задачу (6.2.1) и
(6.2.2). Точно так же как и в п. 5.2.2, введем новый параметр и, лолагая
при этом
Q(z, u) = ^L, С(и) = -g-. (6.2.24)
Дифференцируя уравнения (6.2.1) и (6.2.2) по и, получаем
й"-1та-уа'-1гс=0' <6A2S>
Оой (0) + Ь0 ?У (0) = 0, a1Q(l) + 61Q,(l) = 0. (6.2.26)
Заметим, что и играет здесь роль переменной z из уравнений (5.2.12). Для
того чтобы и было длиной дуги в пространстве В X R1, где г/eBHaeR1,
должно выполняться условие, аналогичное соотношению (5.2.13), а именно0
IIQ ||2 + С2 = 1. (6.2.27)
"Численная реализация этого равенства при разностной аппроксимации
уравнений (6.2.25), (6.2.26) приводит к алгоритму, почти идентичному
алгоритму DERPAR, описанному в п. 5.2.3. Размерность решаемых задач,
однако, может оказаться значительной (при большом числе узловых точек или
в случае, когда вместо одного уравнения (6.2.1) у нас имеется система
дифференциальных уравнений). Кроме того, здесь всегда приходится
использовать специальные методы решения возникающих разреженных систем
линейных алгебраических уравнений со специальной (почти ленточной)
структурой.
Ниже будет рассмотрена упрощенная схема данного алгоритма. Используя
обозначения (6.2.24), выберем предиктора в форме метода Эйлера
у (z, и + А и) = у (z, и) + A"Q (г, и), а (и + А и) - a (") + А иС (и),
(6.2.28)
о Смысл этого равенства нуждается в пояснениях. Однако ниже вы "бор и как
"длины дуги" не используется. - Прим. ред.
300
Глава 6
где Й и С вычисляются из задачи (6.2.25), (6.2.26) при у = - y(z,u) иа =
а(").При
С (ы) = ± 1 (6.2.29>
мы получаем метод, формально аналогичный методу дифференцирования по
параметру (п. 6.2.1), причем и играет здесь-роль параметра ос (на том
участке, где С - -1, роль параметра а выполняет величина -и). Если теперь
положить
?2(0, ") = ± 1, (6.2.30)
то мы получаем вариант метода дифференцирования по граничному условию,
описанного в п. 6.2.2. Параметр и играет здесь роль задаваемого
граничного значения i = y{0), или, соответственно, -?. Шаг А и в (6.2.28)
можно выбирать в зависимости от того, используем ли мы соотношения
(6.2.29) или;
(6.2.30).
Очевидно, что выбор типа (6.2.29) будет невыгоден в окрестности точки
поворота и невозможен в самой этой точке1'. И, наоборот, выбор типа
(6.2.30) будет непригодным в окрестности экстремума зависимости г/(0) от
параметра а на диаграмме решений. Из этих соображений вытекает алгоритм
выбора между двумя указанными возможностями: если последнее вычисленное
значение удовлетворяет условию
?2(0, и)<МС, (6.2.31)
то для следующего шага принимается условие (6.2.29). В противоположном
случае выбирается условие (6.2.30). Конечно, в обоих этих случаях мы
должны соблюдать ориентацию вдоль кривой2', т. е. знаки "+" или "-"
определяются с учетом предыдущих значений С или ?2(0). Постоянную М в
условии
(6.2.31) можно полагать равной 1, если у(0) и а соизмеримы, в противном
же случае она выбирается с учетом того, какие относительные изменения
у(0) или а ожидаются вдоль ветви соответствующей диаграммы решений.
Таким образом, мы разрешили проблему предиктора. В качестве корректора,
как и в § 5.2, можно использовать метод Ньютона, применяя его к системе
разностных уравнений (6.2.9), (6.2.10). При этом вновь необходимо
различать два случая. В первом из них выполнялось условие (6.2.31), и
тогда предиктор выбирался в соответствии с формулой (6.2.29), во
11 Речь идет о точке поворота по "исходному" параметру а. - Прим. ред. 2)
Имеется в виду кривая на диаграмме стационарных решений. -Прим.
ред.
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
301
втором - имела место противоположная ситуация. В первом случае мы решаем
уравнения (6.2.9), (6.2.10) при фиксированном (предсказанном) значении
параметра а; во втором случае- при фиксированном (предсказанном) значении
ро = р(0), а параметр ос считается неизвестным. Блок-схему предложенного
