Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
5 3,5886 1,5771 0,7754 2,6547 -0,0000 0,0000
0 2,1000 2,1000 1,8789 2,3682 -1,8666 0,8124
1 1,9275 2,3183 1,9988 2,2996 -0,3599 0,1033
2 1,9998 2,3008 2,0002 2,2998 0,0076 -0,0034
3 2,0000 2,3000 2,0000 2,3000 -0,0000 0,0000
0 1,0000 2,0000 6,9064 1,1497 -5,5541 3,9497
1 0,7167 2,3767 5,7052 0,9801 6,4628 -0,4866
2 0,7018 2,5763 4,4305 1,2720 3,2316 -0,5172
3 0,7449 2,6483 3,8006 1,4920 0,8956 -0,1854
4 0,7713 2 6554 3,6110 1,5677 0,1068 -0,0254
5 0,7753 2,6548 3,5889 1,5769 0,0170 -0,0004
6 0,7754 2,6548 3,5886 1,5771 0,0000 -0,0000
Таблица 6.3. Метод стрельбы для задачи 11 в случае ГУ1 (А - 2; В = 4,6;
Dx = 0,0016; Ds = 0,008; L = 0,12; jc(0) = x = 2; y(0) = y = 2,3).
Номер итерации я, (0) Ч2=0'(О) JC (1) У 0) х'(\) V' 0)
0 -4,0000 1,0000 2,4731 1,7722 6,1923 -2,1973
1 -3,5963 1,3204 1,9791 2,2939 3,6558 -1,3613
2 -3,5553 1,3126 1,9984 2,3002 3,5570 -1,3137
3 -3,5534 1,3118 2,0000 2,3000 3,5534 -1,3118
4 -3,5534 1,3118 2,0000 2,3000 3,5534 -1,3118
0 13,5000 -4,5000 1,0740 2,3345 -5,7930 2,0101
1 13,9334 -4,8847 2,3480 2,3821 -2,1301 7,0122
2 13,3987 -4,7051 2,1336 2,2969 - 14,8827 5,1427
3 13,4019 -4,6870 2,0092 2,2992 - 13,4846 4,7116
4 13,4062 -4,6868 2,0000 2,3000 - 13,4063 4,6869
5 13,4062 -4,6868 2,0000 2,3000 - 13,4063 4,6868
0 0,1000 0,1000 1,7988 2,4321 0,0376 -0,0237
1 -0,0440 0,0138 2,0072 2,2988 0,0001 -0,0002
2 0,0001 -0,0001 2,0000 2,3000 -0,0000 0,0000
6.1. Стационарные решения
285
Используем теперь метод стрельбы для нахождения стационарных решений
задачи 14, т. е. для решения уравнений
-р^~ У" - У' + Da (1 - у) ехр х = 0, (6.1.35а)
_i_ (c)" _ 0' + в Da (1 - у) exp - р (0 - 0С) = 0, (6.1.35Ь)
соответствующих уравнениям (Р14-7), (Р14-8). Граничные условия при этом
имеют вид (Р14-9), (Р14-10), т. е.
PeMy(0)-z/'(0) = 0, Рен0 (0) - 0' (0) = 0, (6.1.36а)
г/(1) = 0, ~(c)'(1) = 0. (6.1.36Ь)
Выберем два недостающих начальных условия в точке г= 1:
у( 1) = Л" 0(1) = Л2- (6-1.37)
Тогда после интегрирования уравнений (6.1.35) с начальными условиями
(6.1.36Ь) и (6.1.37) на промежутке от г = 1 до z = 0 мы имеем
К, (п) = Рему (0) - у' (0) = 0, F2 (ц) = Рен0 (0) - 0' (0) = 0.
(6.1.38)
Результаты решения уравнений (6.1.38) методом Ньютона с использованием
соответствующих вариационных уравнений приведены в табл. 6.4. В ней
представлен случай, когда существует пять решений данной задачи. Отметим,
что область сходимости метода Ньютона для некоторых решений мала. В
частности, так обстоит дело для пятого решения. Сходимость к этому
решению даже из близкого к нему начального приближения может быть
медленной (см. вторую половину таблицы). Наконец, в табл. 6.5 приведены
окончательные решения задачи для нескольких различных значений числа
Дамкёлера.
Замечание. Во многих задачах концы интервала равноправны и можно
использовать метод стрельбы в любом направлении- как "справа налево", так
и "слева направо". В этой задаче есть выделенное направление: решение
задачи Коши от 2 = 0 к 2=1 при больших числах Пекле сильно неустойчиво, и
такая реализация метода стрельбы здесь не годится.
В качестве последнего примера использования метода стрельбы рассмотрим
задачу 15, в которой наряду с дифференциальными уравнениями появляются и
иные соотношения (нелинейные алгебраические уравнения).
Будем искать решение y(z), 0(z) дифференциальных уравнений (Р15-6) и
(Р15-7) с граничными условиями вида (6.1.36).
286
Глава 6
Таблица 6.4. Метод стрельбы для задачи 14, Рен = 5, Рем =10, у = 20, В =
15, Р = 2, вс = 0, Da = 0,07.
•п. % У (0) у'т в (0) в'(0)
0,10323 0,77944 0,92527 0,97005 0,99737 0,64076 6,68368 6,98339 4,56616
3,22178 0,00863 0,01036 0,01299 0,06795 0,50748 0,08630
0,10359 0,12988 0,67949 5,07476 0,15613 0,23509 0,33374 1,56244 7,11260
0,78066 1,17548 1,66870 7,81220 35,5633
Сходимость метода Ньютона
Номер итерации Ч. Чг VFi + i
0 1 2 3 4 5 0,99900 0,99815 0,99759 0,99739 0,99737 0,99737
3,10000 3,17240 3,20899 3,22070 3.22177 3.22178 27,1
7,6 1,5 0,12 0,00073
Таблица 6.5. Метод стрельбы для задачи 14 (Рен = 5, Рем =10, у = 20, В =
15, р = 2, 0С = 0).
Решения для последовательных значений Da
Da 4i Чг
0,05 0,06382 0,38987
0,063 0,08787 0,54198 0,97818 3,81826 0,99412 3,30132
0,08 0,12961 0,81376 0,65975 0,56212 0,99890 3,17394
0,1 0,22126 1,45190 0,45900 3,47824 0,99973 3,13205
0,12 0,99992 3,11272
6.1. Стационарные решения
287
При этом в уравнения входят также неизвестные функции (c)(z) и 0(z),
которые должны удовлетворять соотношениям (Р15-8) и (Р15-9). Для
практических вычислений вместо этих нелинейных (алгебраических)
соотношений более удобно использовать формулы (Р15-10) и (Р15-11). При
фиксированных значениях параметров /м, /н, Da, В, у и заданных значениях
функций y(z) и 0(z) уравнение (Р15-11) представляет собой при каждом z
нелинейное уравнение относительно неизвестной (c)(z). Решая уравнение (Р15-
11), мы находим значения (c)(z), после чего подставляя их в формулу (Р15-
10), вычисляем значения функции 0(z).
