Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальные уравнения (уравнения в вариациях) относительно
переменных
Pxi = дх/дтр, рУ1 = ду/дтр, i = 1, 2. (6.1.26)
Вариационные уравнения получаются посредством дифференцирования исходных
уравнений1) (6.1.1), (6.1.2) по тр и т]2 и перестановки дифференцирования
по г и тр:
Pxt + Д7 (If Pxi + -f- Pyi) = °> г' = !. 2.
Pyt + Д7 ("trР" + if- pyi)= °> 1 = 1 ' 2-
Более точно: дифференцированием тождеств, возникающих при подстановке
решения х(г, ц), у (г, ц) в уравнения (6.1.1), (6.1.2). - Прим. ред.
282
Глава 6
Начальные условия для варьируемых переменных получаются в результате
дифференцирования исходных начальных условий (6.1.4а), (6.1.24) по щ и
ii2
рх 1 (0) = 1, рх 2 (0) = 0, ру1 (0) = 0, ру 2 (0) = 1,
р;(о)=р;до)=о, i=i,2. (ЬЛ-28)
Если проинтегрировать дифференциальное уравнение (6.1.27) вместе с
уравнениями (6.1.1) и (6.1.2) и начальными условиями (6.1.4а), (6.1.24),
(6.1.28), что в точке г = 1 мы получим
к. (6.1.29)
Тем самым, мы имеем матрицу Якоби для применения метода Ньютона,
вычисленную на основе интегрирования вариационных уравнений. Заметим, что
в данном случае для одной итерации метода Ньютона нам приходится
интегрировать систему 12 дифференциальных уравнений первого порядка. При
аппроксимации элементов матрицы Якоби соответствующими разностными
формулами нужно трижды интегрировать систему 4-х дифференциальных
уравнений первого порядка. При этом объем вычислений для большой группы
различных функций f и g оказывается приблизительно одинаковым. Иногда,
правда, удается существенно сократить затраты машинного времени при
переходе к вариационным уравнениям, например, при появлении функций ехр,
sin, cos, дифференцирование которых дает те же функции.
В случае ГУ1 дополнительные начальные условия к (6.1.3а) выбираются
следующим образом:
х' (0) = тц> */'(0) = Лг- (6.1.30)
При этом условия, которым нужно удовлетворить после интегрирования от z =
0 до z = 1, имеют вид (см. (6.1.3Ь)
(П) = л: (1) - х = 0, F2(i\) = y(l) - y = 0. (6.1.31)
Вариационные уравнения (6.1.27) остаются теми же самыми, а начальные
условия для варьируемых переменных заменяются на условия
Pxi (0) = pyt (0) = 0, г = 1, 2,
р'хЛо)=1> р'хЛо) = о, р^о^о, p;2(o) = i. (6Л-32)
Для ГУЗ в форме (6.1.5) с ненулевыми коэффициентами (с тем чтобы в точке
z - 0 эти условия не совпали в ГУ1 или ГУ2)
6.1. Стационарные решения
283
дополнительные начальные условия в этой точке можно выбрать в виде
(6.1.24) или (6.1.30). В случае выбора условий (6.1.24) из (6.1.5а)
следует
*40) = (Y*o - РхоЛ^Мсо. у' (0) = (yvo - в/о^М/о- (6.1.33)
При этом вариационные дифференциальные уравнения остаются теми же, а
начальные условия заменяются следующими:
Рх\ (0) = 1, Р*2(0) = 0, pfflb(0) = 0, рУ2 (0) = 1,
Рх 1 (°) = - Р*о)/"*0. Рх2 (°) = °> Ру 1 (°) = 0> Ру2 (°) = - Рйо)/%>-
(6.1.34)
Конкретный вид функций Е,- и производных dFi/dr\j читатель может легко
получить с помощью формул (6.1.5Ь).
Конечно, мы могли выбирать недостающие начальные условия в точке z = 1
взамен точки z - 0 и находить решения соответствующих задач Коши на
промежутке от z = 1 до г - 0. В некоторых задачах выбор направления
интегрирования может играть существенную роль, поскольку иногда численное
интегрирование в одном из направлений оказывается труднореализуемым
(соответствующая задача Коши неустойчива по отношению к начальным
условиям). Это имеет место, например, в задачах 14 и 15 при больших
значениях критерия Пекле, а также в задаче 16. Если задача Коши
неустойчива в обоих направлениях, метод стрельбы применять нельзя и
следует использовать, например, разностные методы решения, описанные в
подпункте 6.1.1.
Рассмотрим теперь примеры расчетов методом стрельбы, иллюстрирующие
процесс построения стационарных решений некоторых задач из гл. 4. В
качестве первой из этих задач исследуем задачу 11, т. е. систему типа
"реакция-диффузия" (6.1.1),
(6.1.2), функции f и g для которой имеют вид (Р11-1). В табл. 6.2
приведены некоторые результаты для ГУ2 при выборе начальных условий типа
(6.1.24). Отметим, что второе из представленных в таблице решений
однородно по пространству. Первое и третье решения зависят от г и
получаются друг из друга симметрией: х'(г) = хЩ\- z), yI(z) = yIII(l -
z). В табл. 6.3 представлены соответствующие результаты для ГУ1, при
выборе начальных условий типа (6.1.30). Здесь третье решение
пространственно однородно: x(z) = 2; y(z) = 2,3. В обеих этих ситуациях
применялся метод Ньютона, причем матрица Якоби подсчитывалась с помощью
соответствующих уравнений в вариациях.
284
Глава 6
Таблица 6.2. Метод стрельбы для задачи 11 в случае ГУ2 (А = 2, В = 4,6,
Dx =0,0016, Dy = 0,008, L = 0,12).
Номер итерации т), = * (0) \=У (0) л <D У (1) (1) У( О
0 3,5000 1,7000 -0,2564 2,6782 -5.1186 0,2580
1 3,9027 1,4394 -0,0558 2,9157 -4,3643 0,8921
2 3,7014 1,5278 0,5184 2,7347 - 1,1253 0,2277
3 3,6059 1,5694 0,7393 2,6663 -0,1471 0,0307
4 3,5890 1,5769 0,7745 2,6550 -0,0036 0,0008
