Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений выберите последовательность значений 0, для каждого из них
найдите значения Da и р из условий для точки поворота (бифуркации
слияния) или условий для бифуркации Хопфа.
5.12.7. Постройте бифуркационную диаграмму в плоскости параметров р = Pi
= р2 и Da = Dai = Da2 для задачи 2. Значения остальных параметров
выберите следующими:
a) у = 1000, 0С1 =(c)с2 = 0, В = 22, Л= 1,
b) у - 20, (c)d = (c)с2 - -5, В = 8 (В = 10), Л=1.
Далее, для нескольких значений параметра р постройте диаграмму решний как
функцию параметра Da.
5.12.8. Модифицированная модель Лотки может быть описана системой трех
дифференциальных уравнений вида
х = 1 - Ъх - ху2 - gxy + z, y = a(xy2-\-d - y), (5.12.7)
________________ 2 = f (gxy - Z).
n Одна из многочисленных модификаций уравнений Лотки - Вольтерры.
5.12. Задачи
269
Выберите значения параметров равными а = 4, Ъ = 0,35, d=0,1, f = 0,2. У
данной модели существуют периодические решения, для некоторых значений
параметра g они представлены в следующей таблице (для каждого решения
указана одна точка на траектории. - Ред.):
8 X У Z т
1,57 1,382 0,788 1,102 9,363 неустойчиво
1,62 1,384 0,783 1,138 9,162 неустойчиво
1,67 1,386 0,779 1,173 8,965 устойчиво
2,92 1,494 0,692 2,228 6,266 устойчиво
Найдите периодические решения для этой модели как функции параметра g и
постройте диаграмму периодических решений:
(Литература: Schulmeister Th. Chaos in a Lotka-Scheme with Depot. Stud.
Biophys., 72(1978), 205-206; Хибник А. И. Периодические решения системы n
дифференциальных уравнений,-НЦБИ АН СССР, Пущино, 1979.)
5.12.9. Одна из моделей "хищник-жертва", используемых в математической
экологии, может быть описана системой трех дифференциальных уравнений
вида
хх = хх (хх - Р) (1 - хх) - хху - а (хх - х2),
х2 = х2 (х2 - р) (1 - х2) - х2у~ а (х2 - хх), (5.12.8)
У = у(хх + х2 - р - цу).
Параметры задачи выбираются следующими: р = 0,25; а = = -0,02; р = 0; р.
У такой модели существуют периодические решения (Т - период), например,
р Xi Хг У Т
1,24 0,62 0,62 0,2191 15,6222 неустойчиво
1,17 0,6245 0,6245 0,3519 23,3750 устойчиво
Продолжите эти периодические решения по параметру р.
(Литература: Хибник А. И. Периодические решения системы п
дифференциальных уравнений. - НЦБИ АН СССР, Пущино, 1979.)
270
Глава 5
5.12.10. Исследуйте уравнение Дюффинга специального вида:
х-\--^гх-jjp х + = -f- cos (о/, (5.12.6)
где точка означает дифференцирование по t. Перепишите это уравнение
второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка. Покажите,
что для некоторых со из интервала (0,1; 2) существует несколько
устойчивых периодических решений данной задачи (их можно найти с помощью
динамического моделирования). Постройте диаграмму периодических решений в
зависимости от параметра со.
(Литература: Rudiger Seydel. From Equilibrium to Chaos. Practical
Bifurcation and Stability Analysis. Elsevier, New York - Amsterdam -
London, 1988.)
5.12.11. Проанализируйте математическое описание задачи 6 с запаздыванием
во времени в функции роста, задаваемой формулой (Р6-4). Выберите
следующие значения параметров: р = 0,5; V/F = 3; сх0 = 0,005, cs0 = 5, К*
= 0,03, Ai = 5, Sxs = = 0,5. В случае А = 0 задача имеет два устойчивых
стационарных решения, одно с низкой конверсией субстрата (cs - 5), другое
- с высокой конверсией субстрата (cs ~ 0). При возрастании величины
запаздывания А устойчивость первого решения не меняется, в то время как
второе решение при /L,> ^ ~ 0,19 становится неустойчивым и возникает
установившееся периодическое решение. Используя стандартное программное
обеспечение для интегрирования уравнений с запаздыванием, исследуйте
указанную выше потерю устойчивости. Если в вашем распоряжении нет
соответствующей стандартной программы, то воспользуйтесь методом Эйлера с
интерполяцией по таблице значений (см. п. 5.7.4.4).
ЛИТЕРАТУРА
[5.1] Ortega J. М., Rheinboldt W. С.: Iterative Solution of Non-linear
Equations in Several Variables. Academic Press, New York, 1970. [Имеется
перевод: Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных
систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир,
2975 ggg с j
[5.2] Schreiber I.: MS Thesis (на чешском), КРА VSCHT, Praha, 1979.
[5.3] Wacker Н. (ed.): Continuation Methods. Academic Press, New York,
1970.
[5.4] Kublcek М., Holodniok M,, Marek I.: Numer. Funct. Anal, and
Optimiz. 3 (1981), 223.
[5.5] Kublcek М.: ACM Trans. Math. Software 2 (1976), 98.
[5.6] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. - М.-Л.: Физматгиз, 1963. - 734 с.
[5.7] Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -
М.: Наука, 1966.
Литература
271
[5.8] Ralston A.: A First Course in Numerical Analysis, McGraw-Hill, New
York, 1965.
[5.91 Kubicek М.: Appl. Math. Comput. 1 (1975). 341.
[5.10] Kubicek M" Marek М.: Computational Methods in Bifurcation Theory
and Dissipative Structures, Springer, New York, 1983.
5.11] КиЫбек М., Marek М.: Appl. Math. Comput. 5 (1979), 250.
