Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
параметр г (число Рэлея) возрастает со временем в области, где
стационарное решение в точке субкри-тической бифуркации Андронова-Хопфа
(г ~ 33,45) теряет устойчивость, и система переходит в хаотический режим.
Из
Рис. 5.39. Эволюционные диаграммы задачи 10, а = 16, 6 = 4. a) r(t) = =
32 + 0,00051. Приведены значения переменной х. В заштрихованной области
траектория идет по хаотическому аттрактору, причем эта область
представляет собой приближенную проекцию указанного аттрактора на ось х.
6) r(t)= 400 - 0,11. Показаны величины проекции орбит отображения
Пуанкаре на ось х. Сечение 2 определяется уравнением у = 0. В
заштрихованных областях траектория системы идет по хаотическому
аттрактору.
рисунка видно, что система еще некоторое время, зависящее от скорости
изменения г, следует ветвью неустойчивых (для г > > 33,45) стационарных
решений, прежде чем ее поведение станет хаотическим.
На рис. 5.39Ь параметр со временем убывает. Сначала система
устанавливается (приближенно) на периодическом решении, затем происходит
удвоение периода, потом следующее удвоение и так далее - до тех пор, пока
поведение системы не станет хаотическим. Хаотическое поведение
наблюдается до значения г, приблизительно соответствующего точке поворота
на ветвь устойчивых периодических движений (г ~ 248) (ср. рис. 5.26а).
После этого поведение системы становится (приближенно) периодическим и
"хаотический аттрактор перестает
256
Глава 5
быть аттрактором". При г ~ 230 возникает бифуркация с потерей симметрии
(излом на соответствующей кривой), затем опять происходит каскад
бифуркаций удвоения периода и, наконец, вновь наступает хаотический
режим. Указанная ситуация, т. е. движение системы вдоль ветви устойчивых
периодических решений, возникает еще раз при г ~ 198. При дальнейшем
уменьшении г система вновь ведет себя хаотически.
5.11. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ В НЕАВТОНОМНЫХ СЛУЧАЯХ
В § 5.8 мы исследовали случай, когда правые части системы
дифференциальных уравнений (5.8.1) не зависели явно от /. Во многих
задачах, однако, время / в правых частях появляется, и система
оказывается неавтономной:
-^r = f(*, х, a); xeR" (5.11.1)
В приложениях чаще всего встречается случай периодического (внешнего)
воздействия на динамическую систему, когда функция f представляет собой
периодическую функцию переменной / с периодом Т, т. е. когда для любых
(,хиа имеет место соотношение
f(/ + 7\ х, а) = f (/, х, а). (5.11.2)
При этом периодическое решение системы (5.11.1) обычно удовлетворяет
условию
x(t + kT) = x(t), (5.11.3)
где k - натуральное число. Такое решение мы будем называть ^-
периодическим.
Отметим, что могут существовать системы типа (5.11.1), для которых
условие (5.11.2) выполняется, имеющие решение периода о Ф kT.
Примером такого рода служит система
х = У + (х2 + у2 - 1) sin 2л/,
У = - х,
для которой Т = 1, а ее периодическое решение х = -cost, у - sin / имеет
период, равный 2л.
В данном случае в точках траектории указанного периодического решения (т.
е. в точках окружности х2-\-у2= 1) правые части системы не зависят явно
от времени /. Оказывается, что подобная ситуация имеет место для любой
периодической
5.11. Расчет и анализ периодических решений
257
системы, которая обладает решением с периодом, несоизмеримым с периодом
правой части системы.
В п. 2.3.2 было введено определение отображения Пуанкаре для случая
автономной системы. В случае периодической неавтономной системы ее
решения определяют некоторое отображение Р, которое называется
отображением за период; мы будем его иногда также называть отображением
Пуанкаре.
Опишем, как возникает такое отображение Р. Зафиксируем в системе
(5.11.1), (5.11.2) некоторое конкретное значение параметра а. Возьмем
произвольную точку дс0 <= R"; пусть x(t\ х0 есть решение системы
(5.11.1). Положим
Р(х0) = х(Г; х0). (5.11.4)
Определенное таким образом отображение Р обладает теми же свойствами, что
и отображение Пуанкаре из п. 2.3.2. В частности:
1. Неподвижной точке х0 отображения Р соответствует 1-периодическое
решение системы (5.11.1), так как Р (х0) = х0 -"-> х(Г; х0) = х0.
2. Если система (5.11.1), (5.11.2) (при фиксированном а) имеет ^-
периодическое решение, то k-я итерация, отображения Р имеет неподвижную
точку, поскольку если x(kT\xQ) = х0, то
Р*(х0) = х0.
3. Устойчивость периодического решения определяется устойчивостью
соответствующей неподвижной точки отображения Р или Р*.
Так же, как в автономном случае, мы в принципе имеем две возможности для
нахождения периодического решения при фиксированном а, т. е. решения
нелинейной краевой задачи
(5.11.1), (5.11.3), где k заранее фиксировано. Первая из этих
возможностей связана с применением разностных методов (ср. с
соотношением (5.8.6)). Другая возможность заключается
в использовании метода стрельбы и связана с выбором
началь-
ных условий
*г(0) = т1г> /=1,2,...,п. (5.11.5)
Решая уравнение (5.11.1) при условиях (5.11.5), находим при t = kT (ищем
