Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 426

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 420 421 422 423 424 425 < 426 > 427 428 429 430 431 432 .. 942 >> Следующая

координатных плоскостей. В данном случае орбита О спроектирована на
плоскость Х\-Х2 (см. рис. 5.34g, h). Из рисунка ясно, что точки орбиты О
располагаются на некоторой гладкой кривой (точнее, в ее очень малой
плоскости). Показатели Ляпунова, которые подсчитывались с помощью
подхода, описанного в п. 5.9.1, приведены в табл. 5.30 для значений
параметров, указанных на рис. 5.34g, h. При этом положительное значение
указывает на наличие хаотического аттрактора.
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей 24Т
5.10. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ')
Рассмотрим динамическую модель, зависящую от параметра а,
- f (х> а), (5.10.1>
для простоты считая параметр а скалярной величиной. До сих пор мы считали
значение а постоянным. Однако в реальных ситуациях параметры системы
часто изменяются в зависимости от времени. Рассмотрим очень медленное
изменение параметра а со временем t, задаваемое либо соотношением
а = а(0, I а' (/) | " 1, (5.10.2)
либо как решение дифференциального уравнения
-§- = Ф(*. ")• (5-10-3>
В обоих случаях мы предполагаем, что параметр а меняется со временем
гораздо медленнее переменных состояния х. Возникающее в результате
поведение системы мы называем ква-зистационарным2). Обычно мы
считаем, что правые части уравнения (5.10.3) не зависят
от х, хотя включение х в описание
изменений а не вызвало бы никаких затруднений.
Поясним это понятие для случая, когда в момент времени t = 0 мы находимся
очень близко к устойчивому стационарному решению х (а (0))^системы x =
f(x, а(0)) (х (0)]"* х (а(0))). Тогда решение x(t) системы
-f = f(x, a(t)), х(0) = х(а(0)) (5.10.4)
мало отличается от функциях (а (0), где х(а) - устойчивое стационарное
решение уравнения (5.10.1) при фиксированном а 3>.
Рассмотрим теперь частный случай общей эволюционной задачи, часто
встречающейся в физических и биологических
о Это название возникло в технической литературе при исследовании
установившегося поведения модели (т. е. чаще всего устойчивого
стационарного решения) в случае очень медленного изменения параметра.
2> "Стационарное" (в составе термина "квазистационарное") понимается как
установившееся, не обязательно не зависящее от времени.
"Квазистационарное поведение" в некотором смысле близко к
установившемуся. Авторы не пытаются дать здесь точное определение
используемых понятий. - Прим. ред.
3) Точнее, мало отличается до тех пор, пока х(а)-асимптотически
устойчиво. - Прим. ред.
248
Глава 5
приложениях. Решение в данном случае изменяется со временем в малой
окрестности устойчивых ветвей на диаграмме решений, в малой окрестности
аттракторов. Процесс эволюции системы можно представить в форме так
называемой эволюционной диаграммы, на которой из диаграммы решений
выделяются устойчивые части и на которой стрелками изображается эволюция
установившегося решения во времени. Наряду с этими медленными изменениями
отмечаются также быстрые переходы от решения, которое потеряло
устойчивость, к следующему аттрактору. Для описания изменений параметра
во времени чаще всего используются два вида зависимостей a(f), а именно,
линейный рост
а = ао + а^ (5ЛС1.5)
и экспоненциальный рост
а = а0 ¦ ect. (5.10.6)
Расчет эволюционной диаграммы осуществляется сравнительно просто, однако
требует довольно много времени. Для интегрирования уравнений (5.10.1) с
параметром а, изменяющимся согласно формулам (5.10.5) или
(5.10.6), можно исполь-
зовать некоторые из методов, описанных в § 5.7. При этом необходимо
применять методы с автоматическим изменением шага интегрирования,
поскольку при динамическом моделировании ситуации, когда решение меняется
весьма медленно, чередуются с ситуациями, когда имеют место быстрые
переходы к другому режиму. Поскольку изменение параметра а происходит
очень медленно, то приходится проводить интегрирование на большом
временном промежутке, с тем чтобы значение параметра а изменилось
достаточно заметным образом. Довольно часто приходится повторять процесс
интегрирования с разными начальными условиями, особенно если характер
квазистацио-нарного поведения меняется в зависимости от выбора начального
условия, что, как правило, имеет место для моделей с несколькими
совместно существующими аттракторами.
Следующей проблемой является выбор скорости роста, т. е. фактически
констант ai или с. Если выбрать их большими, то уже нельзя будет говорить
о квазистационарном поведении системы, а изменение а будет происходить в
тех же временных масштабах, что и изменение х. Если же выбрать а\ и с
слишком малыми, то непомерно возрастет время вычислений. Обыкновенно при
выборе констант приходится останавливаться на некоторых компромиссных
значениях, которые не оказывают влияния на поведение ветвей стационарных
и периодиче-
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей 249>
ских решений но которые могут влиять на скачки решений при переходе через
точки бифуркации. При этом в зависимости от скорости изменения а мы можем
Предыдущая << 1 .. 420 421 422 423 424 425 < 426 > 427 428 429 430 431 432 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed