Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
нас могут возникнуть трудности вычислительного порядка. Так, например,
если точка х0 лежит на хаотической траектории, то с ростом t векторы
увеличиваются, а углы между ними уменьшаются, в результате чего
вычисление
п Для придания точного смысла этим утверждениям нужно расшифровать
термины "почти все" и "с вероятностью 1". - Прим. ред.
5.9. Хаотические аттракторы
241
объема становится все более неточным. Чтобы преодолеть эти затруднения,
заметим, что отношение объемов v* (дробь, стоящая в формуле (5.9.3)) не
изменится, если вместо векторов v° взятьих (независимые) линейные
комбинации w,, поскольку Vk зависит только от подпространства, натянутого
на v9.
При вычислении показателей Ляпунова мы поступаем так. Задав небольшое т,
вычисляем величину
/л ч К л ... л v?||
Vt< 1 )= Кл... л.;ц (И'6)
- "коэффициент изменения" ^-мерного объема за время 0 ^ ^ t ^ т. Затем
выбираем ортонор миров энный базис w ,¦ (i-
- в подпространстве, натянутом на v/, например,
ортогонализируя v] по Граму-Шмидту. Затем на промежутке т ^ t ^ 2т
вычисляем v*(t;2t), используя решения w,(/) линеаризованного уравнения
(5.9.4) с начальными данными w,(t) = w,. Теперь коэффициент изменения
объема за время 2т есть, очевидно, произведение: v*(0; 2т) = v*(0; т)-
v*(t; 2т). Проводя ортогонализацию и нормировку w, в конце каждого
интервала длины т, полагаем при t = Lx
^max ~ A* (L) = 7^ In vfe (0; Lx). (5.9.7)
В реальных вычислениях целое число L подбирается настолько большим, чтобы
Xk(L -j- 1) мало отличалось от Kk{L). Разумеется, для разных k могут
понадобиться разные L.
Мы ограничимся здесь двумя примерами. На рис. 5.33 изображена зависимость
максимального показателя Ляпунова Vmax от параметра а для притягивающей
траектории (в задаче 10). Учитывая большой объем необходимого машинного
времени, вычисления проводились на относительно редкой сетке значений
параметра г, выбранной на основе данных рис. 5.26. На рис. 5.33 можно
видеть несколько интервалов изменения параметра (не-
Таблица 5.30. Одномерные показатели Ляпунова для задачи 8: N = 2, Л=2, В
= 5,9, D,/D2 = 0,1.
D, *1 4 4 11 4
1,20 0,08 0,00 -2,7 -29
1,21 0,11 0,00 -2,7 -29
1,26 0,19 0,00 -2,8 -30
16 М. Холодниок н др.
242
Глава 5
которые из них весьма малы), в которых существуют устойчивые
периодические решения (Я^ах = 0) (см. рис. 5.26). При этом на интервалах,
где Я^ах > 0, аттрактор является хаотическим.
В табл. 5.30 приведены численные значения показателей Ляпунова для задачи
о двух связанных реакторах (задача 8)
Рис. 5.33. Зависимость максимального одномерного показателя Ляпунова ^тах
0Т параметра г в задаче 10, а = 16, b - 4.
при трех значениях параметра D\. Положительная величина Я} указывает на
существование хаотических траекторий; при этом Я' всегда равно нулю (см.
замечание 2 в п. 2.5.1).
5.9.2. Отображение Пуанкаре
В п. 2.3.2 мы ввели определение отображения Пуанкаре, создаваемого
потоком в окрестности замкнутой траектории у системы (5.9.1). Отображение
Пуанкаре можно рассматривать как дискретную динамическую систему,
определенную на сечении 2. По характеру поведения орбит этой динамической
системы можно судить о поведении траекторий системы (5.9.1). Аналогичный
подход мы будем использовать для исследований траекторий на хаотическом
аттракторе М. Выберем подходящее сечение 2 -участок гиперповерхности 5:
5(х,, ..., хп) = 0. (5.9.8)
5.9. Хаотические аттракторы 243
Лежащая в аттракторе траектория Г, которая проходит через точку XoeS,
через определенное время пересекает сечение 2 в точке Xi = P(x0), затем в
точке Хг = P(xi)= Р2(х0) и т. д. Таким образом, мы получаем орбиту О(х0)
= {х0,xj,Х2, ...} динамической системы, которая порождается отображением
Р. По характеру орбиты О(хо) мы можем до некоторой степени судить о
геометрической структуре аттрактора зФ. Так, например, если орбита О(хо)
плотно заполняет некоторую дугу С, то дуга С является пересечением
аттрактора зФ с поверхностью 2, и можно думать, что аттрактор дф является
двумерным. В частности, если точки орбиты О плотно заполняют замкнутую
кривую (типа окружности), то можно считать, что аттрактор имеет вид
двумерного тора, который плотно заполняется одной траекторией системы
(5.9.1).
Обычный численный подход к нахождению орбиты отображения Пуанкаре
заключается в том, что мы интегрируем систему (5.9.1) и на каждом шаге
интегрирования оцениваем знак функции S в формуле (5.9.9). При изменении
знака S мы находим точку пересечения Г с поверхностью 2 на основе
интерполяции между двумя последними точками, найденными в процессе
интегрирования. Очевидно, что грубая интерполяция будет источником
численных погрешностей; для интерполяции более высокого порядка нам
потребуется сохранять в ходе интегрирования большее число точек.
Нетрудно преобразовать процесс вычислений так, чтобы одна из точек,
найденных численным интегрированием, оказалась прямо на 2 (см. [5.21]).
Вместо общего соотношения (5.9.9) рассмотрим сначала случай, чаще всего
