Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
определить начальную точку на ветви, т. е. периодическое решение для
одного значения параметра а. Относительно легко такое решение можно найти
в окрестности точки бифуркации Андронова-Хопфа (х+, х+, ..., х+, а+),
методы определения которой изложены в § 5.5. Здесь используются, по
существу, два подхода.
Первый из них основан на асимптотическом анализе характера ветвления в
данной точке путем учета высших производных. Описание этого метода можно
найти в работе [5.33], где приведен также собственно алгоритм вычислений.
В результате мы получаем:
a) оценку периода Т\
b) возможность узнать, является ли ответвившееся решение устойчивым;
c) возможность определить направление ответвления, т. е. узнать, отходит
ветвь периодических решений при а < а+ или при а > а+.
Другой подход к данной задаче является эвристическим. Именно, делается
попытка найти периодическое решение при <а, близком к а+ (см. п. 5.8.2).
В качестве начального приближения для величины периода Т обычно годится
величина Т = = 2зт/д/ю+, где Я1>2 = ±г'У<о+ - собственные числа матрицы
Якоби правых частей в точке бифуркации Андронова-Хопфа. Начальное
приближение ri можно выбрать, например, в виде
11!== х+, ..., Tlft-i = *+_lf ТЦ = *+ + в,
rlfe+l = Xk+V ¦ • \ ~ Хп<
где е ф 0 есть некоторое фиксированное малое число, a щ в процессе
ньютоновских итераций остается неизменным. В зависимости от того, будет
ли этот выбор успешным для а = = а+ + б или для а - а+ - б, выясняется
обычно, в какую сторону ответвляются периодические решения. Здесь 6=^=0
есть опять подходящим образом выбранное малое число. В целом указанный
подход дает вполне удовлетворительные результаты.
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 227
Оба этих подхода оказываются слишком сложными в случае, когда
разыскивается периодическое решение на устойчивой ветви. В этом случае
достаточно просто интегрировать дифференциальные уравнения вплоть до
установления колебаний. I13)
Направления ветвлений в точках бифуркации удвоения периода или в точках
бифуркации с потерей симметрии приближенно можно подсчитать с помощью
методики, описанной в п. 5.4.2.
5.8.5. Бифуркации периодических решений
При изменении параметра а устойчивость периодических решений на одной
ветви решений может изменяться. Значения параметра, при которых меняется
устойчивость и от исходной ветви решений отходит новая ветвь (т. е.
бифуркационные значения параметра), характеризуются значениями
собственных чисел матрицы монодромии В (5.8.17), лежащими на единичной
окружности в комплексной плоскости. При изменении устойчивости одно или
два собственных числа переходят через эту единичную окружность.
Если одно собственное число матрицы монодромии В проходит по вещественной
оси через точку -1, то от ветви периодических решений отходит ветвь
решений с двойным периодом (см. § 2.3). На рис. 5.29с схематически
представлены некоторые возможные варианты такого ветвления, при этом если
исходная ветвь была устойчивой, она эту устойчивость теряет, а
устойчивость новой ветви определяется направлением ветвления. Бифуркация
такого типа называется в литературе бифуркацией удвоения периода, или
бифуркацией типа "-1". Указанная бифуркация обычно последовательно
повторяется в достаточно узком интервале значений параметра а, образуя
при этом так называемую последовательность Фейгенбаума (см. табл. 5.31).
Описанная структура бифуркаций изображена на рис. 5.29d.
Другие явления возникают в случае, когда одно собственное число проходит
по вещественной оси через точку +1; как правило, это соответствует точке
поворота на диаграмме решений (рис. 5.29а). Если одна из ветвей отвечает
устойчивым периодическим решениям, то другая отвечает неустойчивым. Более
сложная картина наблюдается в системах, обладающих симметрией (см. задачу
10, которая рассматривается в п. 5.8.4). Схематически эта ситуация
представлена на рис. 5.29Ь. От ветви устойчивых симметричных решений при
бифуркации типа "+1"
15*
228
Глава 5
отходит ветвь устойчивых несимметричных решений. При этом исходная ветвь
симметричных решений теряет устойчивость.
Рис. 5.29. Схематическое изображение бифуркаций периодических решений;
сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые
решения, АР - амплитуда или какая-либо другая величина, характеризующая
периодические решения, +1-точка бифуркации с потерей симметрии, -1 -
точка бифуркации удвоения периода, LB - предельная точка (точка поворота)
, S - симметричное решение, А - асимметричное решение; а) точка поворота,
Ь) точка бифуркации с потерей симметрии, с) точка бифуркации удвоения
периода, d) последовательность бифуркаций, удваивающих период, которая
следует за бифуркацией с потерей симметрии, е) последовательность
бифуркаций, удваивающих период.
Следующий тип бифуркации возникает при переходе двух комплексно
сопряженных собственных чисел через единичную окружность. Здесь от
исходной ветви, которая утрачивает устойчивость, отходит ветвь