Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 419

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 413 414 415 416 417 418 < 419 > 420 421 422 423 424 425 .. 942 >> Следующая

определить начальную точку на ветви, т. е. периодическое решение для
одного значения параметра а. Относительно легко такое решение можно найти
в окрестности точки бифуркации Андронова-Хопфа (х+, х+, ..., х+, а+),
методы определения которой изложены в § 5.5. Здесь используются, по
существу, два подхода.
Первый из них основан на асимптотическом анализе характера ветвления в
данной точке путем учета высших производных. Описание этого метода можно
найти в работе [5.33], где приведен также собственно алгоритм вычислений.
В результате мы получаем:
a) оценку периода Т\
b) возможность узнать, является ли ответвившееся решение устойчивым;
c) возможность определить направление ответвления, т. е. узнать, отходит
ветвь периодических решений при а < а+ или при а > а+.
Другой подход к данной задаче является эвристическим. Именно, делается
попытка найти периодическое решение при <а, близком к а+ (см. п. 5.8.2).
В качестве начального приближения для величины периода Т обычно годится
величина Т = = 2зт/д/ю+, где Я1>2 = ±г'У<о+ - собственные числа матрицы
Якоби правых частей в точке бифуркации Андронова-Хопфа. Начальное
приближение ri можно выбрать, например, в виде
11!== х+, ..., Tlft-i = *+_lf ТЦ = *+ + в,
rlfe+l = Xk+V ¦ • \ ~ Хп<
где е ф 0 есть некоторое фиксированное малое число, a щ в процессе
ньютоновских итераций остается неизменным. В зависимости от того, будет
ли этот выбор успешным для а = = а+ + б или для а - а+ - б, выясняется
обычно, в какую сторону ответвляются периодические решения. Здесь 6=^=0
есть опять подходящим образом выбранное малое число. В целом указанный
подход дает вполне удовлетворительные результаты.
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 227
Оба этих подхода оказываются слишком сложными в случае, когда
разыскивается периодическое решение на устойчивой ветви. В этом случае
достаточно просто интегрировать дифференциальные уравнения вплоть до
установления колебаний. I13)
Направления ветвлений в точках бифуркации удвоения периода или в точках
бифуркации с потерей симметрии приближенно можно подсчитать с помощью
методики, описанной в п. 5.4.2.
5.8.5. Бифуркации периодических решений
При изменении параметра а устойчивость периодических решений на одной
ветви решений может изменяться. Значения параметра, при которых меняется
устойчивость и от исходной ветви решений отходит новая ветвь (т. е.
бифуркационные значения параметра), характеризуются значениями
собственных чисел матрицы монодромии В (5.8.17), лежащими на единичной
окружности в комплексной плоскости. При изменении устойчивости одно или
два собственных числа переходят через эту единичную окружность.
Если одно собственное число матрицы монодромии В проходит по вещественной
оси через точку -1, то от ветви периодических решений отходит ветвь
решений с двойным периодом (см. § 2.3). На рис. 5.29с схематически
представлены некоторые возможные варианты такого ветвления, при этом если
исходная ветвь была устойчивой, она эту устойчивость теряет, а
устойчивость новой ветви определяется направлением ветвления. Бифуркация
такого типа называется в литературе бифуркацией удвоения периода, или
бифуркацией типа "-1". Указанная бифуркация обычно последовательно
повторяется в достаточно узком интервале значений параметра а, образуя
при этом так называемую последовательность Фейгенбаума (см. табл. 5.31).
Описанная структура бифуркаций изображена на рис. 5.29d.
Другие явления возникают в случае, когда одно собственное число проходит
по вещественной оси через точку +1; как правило, это соответствует точке
поворота на диаграмме решений (рис. 5.29а). Если одна из ветвей отвечает
устойчивым периодическим решениям, то другая отвечает неустойчивым. Более
сложная картина наблюдается в системах, обладающих симметрией (см. задачу
10, которая рассматривается в п. 5.8.4). Схематически эта ситуация
представлена на рис. 5.29Ь. От ветви устойчивых симметричных решений при
бифуркации типа "+1"
15*
228
Глава 5
отходит ветвь устойчивых несимметричных решений. При этом исходная ветвь
симметричных решений теряет устойчивость.
Рис. 5.29. Схематическое изображение бифуркаций периодических решений;
сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые
решения, АР - амплитуда или какая-либо другая величина, характеризующая
периодические решения, +1-точка бифуркации с потерей симметрии, -1 -
точка бифуркации удвоения периода, LB - предельная точка (точка поворота)
, S - симметричное решение, А - асимметричное решение; а) точка поворота,
Ь) точка бифуркации с потерей симметрии, с) точка бифуркации удвоения
периода, d) последовательность бифуркаций, удваивающих период, которая
следует за бифуркацией с потерей симметрии, е) последовательность
бифуркаций, удваивающих период.
Следующий тип бифуркации возникает при переходе двух комплексно
сопряженных собственных чисел через единичную окружность. Здесь от
исходной ветви, которая утрачивает устойчивость, отходит ветвь
Предыдущая << 1 .. 413 414 415 416 417 418 < 419 > 420 421 422 423 424 425 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed