Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
X У Z т г АУ Тип решения
-0,0307 -58,8464 430,474 0,25981 500,008 288 S,
устойчивое
-0,0675 -56,4816 228,439 0,73934 245,000 217 S,
устойчивое
-0,0000 -39,4637 185,137 0,82260 200,000 176 S,
неустойчивое
-5,5204 - 15,4949 132,272 1,65886 197,000 189 А,
устойчивое2)
-0,0079 - 16,0093 144,297 1,11522 171,136 153 А,
устойчивое
-0,0046 -5,8309 113,077 0.70966 150,500 137 А,
устойчивое
-0,0262 -36,5315 135,279 1,48629 137,000 154 S,
устойчивое
-0,0203 -30,8847 108,611 1,12578 106,150 112 А,
устойчивое
7,7979 -26,7059 99,7729 1,54563 87,487 101 А,
устойчивое
7,3293 -24,2500 89,9287 1,96701 77,262 94 А,
устойчивое
-8,8568 - 12,7698 18,4440 0,52027 30,0699 46 А,
неустойчивое
¦) (х, у, г) - точка на траектории периодического решения.
г) Устойчивое несимметричное решение после бифуркации с потерей
симметрии.
Скажем теперь несколько слов о графическом представлении периодических
решений и зависимости периодических решений от параметра. Периодические
решения (некоторые их составляющие) мы либо представляем графически в
зависимости от времени (см. рис. 5.27d), либо изображаем проекцию
траектории на фазовую плоскость х,- ху-, (см. рис. 5.26Ь, с, а
также рис. 5.27с). В последнем случае мы получаем представление о
траектории, но теряем информацию о зависимости решения от времени. Для
заданного периодического решения часто используется также проекция
траектории отображения Пуанкаре на некоторую плоскость (см. § 5.9). При
изображении диаграммы периодических решений (см. рис. 5.26а, 5.27а, b и
5.28) на оси ординат мы откладываем какую-либо величину, которая
характеризует периодические решения в зависимости от параметра. Это может
быть, например, координата какой-либо из неподвижных точек отображения
Пуанкаре. Более наглядно изображение значений амплитуды (какой-либо пере-
224
Глава 5
менной) или периода отдельных решений. При этом в случае изображения
периода для ветвей, которые возникли в точке бифуркации удвоения периода,
мы вводим некий модифицирован-
Рис. 5.27. Периодические решения задачи 8, N = 2, А - 2, В - 5,9, р = =
DJD2 - 0,1. а) Диаграмма периодических решений. А, - амплитуда переменной
Х\, сплошная линия - изолированное семейство периодических решений с
периодом Т ~ 11-13, штриховая линия - ветви периодических решений с
удвоенным периодом Т ~ 22-26. О-1 точки бифуркации удвоения периода. Ь)
Диаграмма периодических решений. Ai - амплитуда переменной Хь сплошная
линия - устойчивое решение, штриховая линия - неустойчивые решения, НВВ -
бифуркация Андронова-Хопфа, О-1-точки бифуркации удвоения периода, с)
Траектория периодического решения для значения параметра Di = 1,26. Т -
12,31918, А, = 6,20, г| = (3,7335, 2,0840, 1,2159, 2,5000). Показана
проекция на плоскость X,-Хг. d) Периодическое
решение с рис. с).
ный период (для ветви решения с периодом Т2 ~ 27'i, которая отделилась от
ветви решений с периодом Т\, модифицированный период определяется как Т2
= Тг/2), в результате чего диаграмма остается в этих точках непрерывной.
Описанный выше алгоритм с успехом использовался также для изучения
периодических решений в случае модели двух
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 225
связанных реакторов, в которых имеет место реакция типа "брюсселятор"
(задача 8). На рис. 5.27а, b приведены две небольшие части диаграммы
периодических решений для этой задачи. Изола, изображенная на рисунке
5.27а, содержит четыре точки поворота и очень близко к ним четыре точки
бифуркации удвоения периода (последовательность дальнейших бифуркаций
удвоения на рисунке не представлена). На части диаграммы,
Рис. 5.28. Диаграмма периодических решений задачи 2; у = 1000, В = 12, Pi
= Рг = 2, вс = 0, Л = 0,8, Da2 = 0,2. Сплошные линии - устойчивые
решения, штриховые линии - неустойчивые решения, А< - амплитуда
переменной 02, НВВ - точка бифуркации Андронова - Хопфа.
представленной на рис. 5.27Ь, изображены две ветви, которые выходят из
точки бифуркации Андронова-Хопфа, а затем вновь возникает
последовательность бифуркаций удвоения периода (на рисунке показаны
только точки первого удвоения). В целом диаграмма периодических решений
оказывается гораздо более сложной, чем показано на рис. 5.27а,b (см.
работу [5.29]). Точки бифуркации, изображенные на рис. 5.27а, мы
рассмотрим в следующем пункте.
Диаграмма периодических решений для задачи 2 изображена на рис. 5.28а, Ь.
Для сильно неустойчивых периодических решений (мультипликаторы порядка
105 и больше) метод простой стрельбы не
15 М. Холодвяок и др.
226
Глава 5
работает. В таких случаях для процесса продолжения можно использовать
разностные методы или метод многократной стрельбы. Метод многократной
стрельбы можно применять также для продолжения периодических решений
вблизи гомо-клинических орбит. Таким способом можно находить
периодические решения с большими значениями периода Т, чем при
использовании метода простой стрельбы.
При запуске процесса продолжения периодических решений нам необходимо
