Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 415

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 409 410 411 412 413 414 < 415 > 416 417 418 419 420 421 .. 942 >> Следующая

по-
следнем случае. Для этого, рассматривая х как функцию tj, введем
обозначения
дх.
РчМ = ~д^7' l' i=l' 2- (5.8.11)
Дифференцируя уравнение (5.8.4) по переменной т]/, находим
dfi
dpt
dz
Г = Т1,фРФ './=1.2 п.
(5.8.12)
S-l
Далее, дифференцируя (5.8.4) по Т, для производных qi = = dXi/dT получаем
dgt
dz
= /< + 7'Е'Й'^ /=1,2,...,я. (5.8.13)
S=1
Начальные условия для этих уравнений в вариациях имеют вид Рч (0) = 6lt,
qt( 0) = 0, (5.8.14)
где бц - символ Кронекера (равный 0 при 1Ф\ и 1 при / = /').
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае
215
Для элементов матрицы Якоби системы (5.8.10) имеют место соотношения
Щ = рц(\)-Ьц, /= 1, 2, (5.8.15)
= = (5.8.16)
Из последней формулы следует, что уравнения (5.8.13) интегрировать не
нужно, поскольку достаточно знать лишь концевое значение х(1).
Заметим, что столбец производных dFi/dr\k матрицы Якобн также оказывается
ненужным, поскольку значение r\k уже зафиксировано. Выбор этого значения
i\k является довольно непростым делом, если только не использовать какую-
либо априорную информацию об искомых периодических решениях (вытекающую,
например, из неких физических соображений).
Если никакой предварительной информации у нас нет, то можно
воспользоваться "поисковым" подходом, описанным в § 5.1, т. е. случайным
выбором начальных приближений (всех Гр, ..., тТ) для метода Ньютона в
сочетании со случайным выбором индекса k. В настоящее время, когда
требуемый объем машинного времени перестает быть ограничивающим фактором,
указанный подход становится, по-видимому, вполне реалистичным.
Пример сходимости метода Ньютона для задачи 10 показан в табл. 5.23. При
этом, хотя начальное приближение выбиралось вблизи устойчивого
периодического решения (ср. четвертое решение в табл. 5.24), метод привел
к неустойчивому периодическому решению ("дважды повторенному"-его
минимальный период вдвое меньше найденного). Это обстоятельство, по-
видимому, вызывается существованием в рассматриваемой области большого
числа периодических решений (см. рис. 5.26). Оно подчеркивает
преимущества продолжения периодических решений (см. п. 5.8.4) по
сравнению с поиском решений для отдельных значений параметра.
Метод стрельбы является эффективным в тех случаях, когда соответствующие
задачи Коши легко интегрируются. Если же функция x(z) сильно зависит от
tj, то задача Коши становится "плохой" и сам метод уже не работает; в
частности, так обстоит дело в случае сильно неустойчивых периодических
решений. При этом в качестве альтернативного метода можно
]) Эти равенства сразу вытекают из исходной записи (5.8.4) (но могут
быть, конечно, выведены и из (5.8.13)).-Прим. ред.
216
Глава 5
Таблица 5.23. Метод стрельбы для нахождения периодического решения задачи
10: а = 16, Ь = 4, г = 197, т)* = -5,5, k - 1. Найденное неустойчивое
решение "составлено" из двух идентичных периодических решений с периодом
Г/2
Итерация 4i Ч; Ча т IIЛ1
0 -5,5 -15,000 132,000 1,70000 З.ЗЕ1
1 -5,5 -13,321 123,905 1,64516 2.3Е1
2 -5,5 -14,179 122,765 1,65020 9.5Е0
3 -5,5 - 12,828 123,703 1,65684 1.8Е0
4 -5,5 - 12,946 123,651 1,65760 4,5Е-2
5 -5,5 -12,953 123,646 1,65765 1,ЗЕ-4
6 -5,5 -12,953 123,646 1,65765
использовать либо разностный метод, либо метод многократной стрельбы (см.
п. 5.8.6).
5.8.3. Устойчивость периодических решений
Исследуем теперь устойчивость уже известного периодического решения,
характеризующегося значениями т),, ..., fj", Т (см. п. 5.8.2).
Орбитальная устойчивость исследуемого периодического решения определяется
собственными числами матрицы монодромии (см. (5.8.9) и § 2.3)
в = [-^-]=[^/(1)]. (5.8.17)
При этом вариационные переменные рц{г) (5.8.11) находятся
для значений т) и Т, отвечающих изучаемому периодическому
решению. Напомним, что для нахождения собственных чисел матрицы В можно
использовать методику, описанную в § 5.3. В случае автономной системы
одно собственное число всегда равняется единице (Xi = l). Остальные п-1
собственных чисел Х.2, • • •, А," (которые мы в гл. 2 называли
мультипликаторами) соответствуют собственным числам линейной части
отображения Пуанкаре и определяют устойчивость периодического решения.
При этом периодическое решение является устойчивым (точнее, орбитально
асимптотически устойчивым), если выполняются неравенства
\Xt\<l, i = 2, ...,". (5.8.18)
Периодическое решение является неустойчивым, если хотя бы для одного
мультипликатора имеет место условие |А,г|> 1. Если
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае
217
|Я.|| ^ Ю-4-10-5, можно говорить о сильно неустойчивом периодически
решении. В п. 5.8.5 мы рассмотрим различные случаи изменения устойчивости
периодических решений при изменении параметров задачи.
5.8.4. Продолжение периодических решений по параметру
Займемся теперь исследованием решения задачи (5.8.1),
(5.8.2) (или, что то же самое, (5.8.4), (5.8.5)) в зависимости от
параметра а. Опишем алгоритм для нахождения указанной зависимости
Предыдущая << 1 .. 409 410 411 412 413 414 < 415 > 416 417 418 419 420 421 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed