Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 414

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 408 409 410 411 412 413 < 414 > 415 416 417 418 419 420 .. 942 >> Следующая

итерационного метода или же результатом неудачного выбора этой
переменной.
Для решения системы нелинейных уравнений (5.8.6) - (5.8.7) можно
воспользоваться, например, итерационным методом Ньютона. Матрица
размещения для этих уравнений является почти ленточной (ленточный
характер нарушается лишь вхождением неизвестной Т и условиями (5.8.7),
см. рис. 5.23). Для решения линейных систем в случае ленточной матрицы
обычно используется одна из модификаций метода исключения Г аусса.
Предполагается, что система (5.8.1) имеет (при фиксированном а) лишь
конечное число замкнутых траекторий. - Прим. ред.
14*
212
Глава 5
Для уменьшения числа решаемых уравнений можно использовать неравномерную
сетку узловых точек на интервале [О, 1]. Можно также вместо схемы О (Л2)
в формуле (5.8.6) использовать схемы высших порядков.
В табл. 5.22 приведены полученные в результате профили периодического
решения (при различных значениях шага сетки h) для случая задачи 10 (х =
хи у = х2, z = x3). Сравнивая
Таблица 5.22. Профили периодического решения, найденные разностным
.методом (5.8.6), (5.8.7) (задача 10: а = 16, b - 4, г = 200,0). Значение
x(t = 0) = 0 в ходе итераций фиксировано (т е [0, 1], t = 74).
Л=0,02 ft=0,01
т X У г X У г
0,0 од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 -37,8558 - 16,6686 -
9,1232 -49,5720 0,0 37,8558 16,6686 9,1232 49,5720 0,0 -38,3453 -56,5485
6,7628 - 18,4699 -80,6857 38,3453 56,5485 -6,7628 18,4699 80,6857 -
38,3453 184.439 211,622 194.264 140.729 228.809 184.439 211,622
194.264 140.729 228.809 184.439 0,0 -37,7594 -16,3070 -9,0733 -49,0362
0,0 37,7594 16,3070 9,0733 49,0362 0,0 -39,1718 -55,9209 6,4610 -18,1652
-82,5997 39,1718 55,9209 -6,4610 18,1652 82,5997 -39,1718 184.965
212.435 193.447 140.985 224.903 184.965 212.435 193.447 140.985 224.903
184.965
Г = 0,843430 Т = 0,827812
= 0,005 Л=0,0025
т X У г X У г
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 -37,7394 -16,2146 -
9,0561 -48,8735 0,0 37,7394 16,2146 9,0561 48,8735 0,0 -39,3898 -55,7559
6,3894 -18,0803 -83,0988 39,3898 55,7559 -6,3894 18,0803 83,0988 -39,3898
185.095 212,660 193.240 141.044 223.786 185.095 212,660 193.240
141.044 223.786 185.095 0,0 -37,7346 - 16,1913 -9,0515 -48,8307 0,0
37,7346 16,1913 9,0515 48,8307 0,0 -39,4452 -55,7140 6,3718 -18,0584
-83,2248 39,4452 55,7140 -6,3718 18,0584 83,2248 -39,4452 185.127
212.718 193.188 141.058 223.496 185.127 212.718 193.188 141.058 223.496
185.127
Т - 0,823904 Т = 0,822926
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 213
значения периода Т, полученные для различных величин шага h, мы видим,
что при уменьшении шага h период Т стремится К некоторому предельному
значению, приближенно равному ТRe=п 0,8226. Этот предел получается
экстраполяцией по Ричардсону из значений Т при h = 0,005 и h = 0,0025.
Сравнивая теперь найденные значения периода Т с результатами, полученными
с помощью метода стрельбы (см. табл. 5.24), мы видим, что точность,
обеспечиваемая разностным методом, является не очень высокой.
5.8.2. Метод стрельбы
Другим подходом, используемым для вычисления периодических решений,
является переход от краевой задачи к задаче Коши, или метод стрельбы.
Выберем для нашей задачи некоторые начальные условия вида
xi (0)= Ль г=1, 2 п (5.8.8)
и определенное значение периода Т. Тогда систему дифференциальных
уравнений (5.8.4) можно проинтегрировать от точки z = 0, где мы имеем
полные начальные условия (5.8.8), до точки 2=1, используя при этом
методы, описанные в § 5.7. (В случаях, когда задача Коши "более
устойчива" в отрицательном направлении, используется интегрирование от z
= 0 до z = -1. Читатель может легко внести в алгоритм соответствующие
изменения.) В результате интегрирования мы получаем значения неизвестных
х,- в точке 2=1:
*г(1) = Фг(Пь • •Чп, Т), 1 = 1, 2, ...,п. (5.8.9)
Для выполнения условия (5.8.5) необходимо, чтобы удовлетворялась система
п нелинейных уравнений
Pt ("Ль •••, 7') = Фг(Пь •••. "П /г. Л - i\i = 0, г = 1. 2, ..., п
(5.8.10)
относительно п+1 неизвестных тц, . ..,т\п,Т. Так же, как и в случае
разностных методов, нужно задать произвольно значение одной из
неизвестных. Выберем в качестве такой неизвестной переменную т)* и
положим т\к = fjft. Этот выбор будет успешным лишь в случае, когда
"лежит" на искомой зависимости хДг), т. е. когда при некотором ге[0, 1]
выполнено соотношение rjft = xft(z) (см. рис. 5.24). Для решения системы
нелинейных уравнений (5.8.10) относительно неизвестных тц, ... ...,
т)й_1, T)fe+i, ..., цп,Т воспользуемся методом Ньютона. При этом
соответствующая матрица Якоби будет включать в себя
214
Глава 5
элементы dFi/dц,- (/ ф k) и dFi/dT. Эти элементы можно вычислить либо с
помощью разностных формул, когда мы решаем задачу Коши (т. е. вычисляем
Ft) для одной итерации в; общей сложности я+ 1 раз (см. § 5.1), либо с
помощью соответствующих вариационных переменных и системы
дифференциальных уравнений в вариациях. Покажем, как это можно сделать в
Предыдущая << 1 .. 408 409 410 411 412 413 < 414 > 415 416 417 418 419 420 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed