Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
на одном шаге метода интегрирования, а число шагов (при фиксированном t)
равно t/h, то суммарная погрешность округления оказывается
пропорциональной А-1.1) В то же время зависимость погрешности
аппроксимации от шага h определяется формулой (5.7.9). На рис. 5.21а
графически изображен случай р = 1 (метод Эйлера). Из рисунка видно, что
существует нижняя граница итоговой погрешности Е*, меньше которой нельзя
получить с помощью выбора шага h. Если мы хотим получить решение с более
высокой точностью, чем Е*, то нам нужно либо повысить порядок метода
Предположение, что суммарная погрешность округления пропорциональна числу
шагов, не очень реалистично. - Прим. ред.
5.7. Методы моделирования динамических систем
203
(см. рис. 5.21Ь), либо уменьшить погрешности округления (перейти к
вычислениям с двойной точностью).
Замечание. На рис. 5.21 схематически показано поведение погрешностей при
А-"-0. В практических расчетах обычно ис-
Рис. 5.21. Зависимость погрешности аппроксимации (1), погрешности
округления (2) и полной погрешности (3) от шага h. а) р = 1,
Ь) р - 2.
пользуются достаточно большие h - такие, чтобы можно было
пренебречь погрешностями округления.
5.7.2. Многошаговые методы
Многошаговые методы в отличие от одношаговых используют значения решения
и правых частей не в одной, а в нескольких предшествующих узловых точках.
Линейный й-шаго-вый метод в случае постоянного шага h описывается
соотношением
Oftx, + 1 + Oft_iх1 + ... + Oox,+1 k =
= h [pftf'+1 + Pft-if' + ¦ • • + М,+1~']. (5.7.17)
где ak ф 0, > 0 и использовано обозначение fs = f(k,
Xs). Существует целый ряд различных многошаговых методов. В частном
случае а* = 1, а*._1 =-1, а; = 0 при г = 0, 1, ..., k - 2 соотношение
(5.7.17) называется методом Адамса. При р* = 0 эти методы называются
явными, поскольку
(при известных х1'....x'-fe+)) мы можем найти х/+1 из формулы
(5.7.17) неитерационным способом. Такой вариант метода Адамса называют
методом Адамса - Бэшфорта; его коэффициенты приведены в табл. 5.19. В
случае Р* ф 0 методы, описываемые соотношением (5.7.17), оказываются
неявными, поскольку х/+1 входит и в правую часть формулы (5.7.17).
Неявный вариант метода Адамса называют методом Адамса - Моултона, а его
204
Глава 5
Таблица 5.19. Коэффициенты метода Адамса - Бэшфорта в случае погрешности
аппроксимации р-го порядка
А 0 l 2 3 4 P
1 Pft-l-i1"5 1 1
2 2Pft-l-I- 3 -1 2
3 23 -16 5 3
4 24Pft-l 55 -59 37 -9 4
5 720р*_,_г= 1901 -2774 2616 -1274 251 5
Таблица 5.20. Коэффициенты метода Адамса - Моултона в случае погрешности
аппроксимации р-го порядка
A t = 0 1 2 3 4 р
0* $k-i = 1 1
1 Wk-i = 1 1 2
2 12 h-i = 5 8 -1 3
3 24 Р*_г= 9 19 -5 1 4
4 720Р*_г= 251 646 -264 106 -19 5
* Особый случай *1+1 =x^ + hf, + l (неявный метод Эйлера).
коэффициенты представлены в табл. 5.20. При этом для нахождения х'+' (по
известным х', ..., x'-fe+1) мы должны уже использовать какую-нибудь
итерационную процедуру, для которой мы располагаем достаточно хорошим
начальным приближением х1', это начальное приближение может определяться
с помощью какого-либо явного метода. Так возникает метод типа предиктор -
корректор.
Многошаговые методы по сравнению с одношаговыми обладают более высокой
эффективностью, заключающейся в необходимости проведения меньшего
количества вычислений правых частей за один шаг интегрирования при одном
и том же порядке метода. С другой стороны, для их "запуска" приходится
использовать какую-либо иную вычислительную схему (например, одношаговый
метод), поскольку самих по себе начальных условий недостаточно для начала
расчета. Другим недостатком этих методов является трудность реализации
алгоритма в случае автоматического изменения шага интегрирова-
5.7. Методы моделирования динамических систем
205
ния. Такого рода алгоритм, основанный на методах Адамса - Бэшфорта -
Моултона и подробно разработанный Гиром, очень часто используется в
приложениях.
5.7.3. Методы интегрирования "жестких" систем
Если вещественные части собственных чисел матрицы Якоби для правых частей
дифференциальных уравнений (5.7.1) различаются на несколько порядков, то
такие системы обычно называют жесткими. Оии описывают результат наложения
нескольких различных процессов, скорости которых существенно различаются
между собой (в частности, быстрых и медленных реакций). Указанное понятие
возникло в связи с численным решением дифференциальных уравнений.
Рассмотрим простой пример. Пусть нам нужно решить дифференциальное
уравнение
*' = -1000*, * (0) = 1 (5.7.18)
методом Эйлера. Точное решение этой задачи имеет вид *(/) = _ g-iooo^ И(
следовательно, при t > 0,01 оно практически равно нулю. Методом Эйлера
(5.7.8) находим
*/+! = ( 1 -lOOO/i)*', лс°=1, (5.7.19)
и, следовательно,
х! = {1 - 1000h)1.
Легко видеть, что при h > 0,002 получим |*'|->-оо при j-*-oo, и значит,
для аппроксимации практически постоянной (равной нулю) функции нам нужно
использовать чрезвычайно малый шаг. В случае "жестких" систем подобными
