Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
задача была рассмотрена Смитом и Кауфманом [385, 386 ] для случая волны,
распространяющейся наклонно к магнитному полю, а для случая
перпендикулярного распространения это сделали Карни и Берс [222], а также
Фукуяма и др. [145].
Введем прежде всего переменные действие - угол для невозмущенной системы,
гамильтониан которой имеет вид
1
Н°р 2 М
Р -
(2.2.53)
Каноническая теория возмущений
99
Здесь М - масса частицы, е - ее заряд, с - скорость света. Обозначая
через х, у, z орты координатных осей, запишем векторный потенциал
однородного магнитного поля В0 в виде
Импульс
А(х)= -В0ух.
р = Mv И А
с
канонически сопряжен радиусу-вектору частицы х С помощью производящей
функции
хх
F, = MQ
(2.2.54)
(2.2.55) yy-zz.
(2.2.56)
JOactgq> - л-yj
и соотношений (1.2.11) переходим к новым дрейфовым переменным'.
где
Й
еВа
Мс
(2.2.58)
Рис. 2.3. Траектория частицы в однородном магнитном поле
Я".
k - волновой вектор электростатической волн ы.
- ларморовская частота, р - маг-
нитный момент, v- = v2 -1- v2,
Х" Х у'
р = vJQ. - ларморовский радиус, X и Y - дрейфовые координаты
ларморовского центра, Яф и ср - момент импульса и угловая координата.
Новыми импульсами являются величины Яф, MQX и Р2\ им отвечают координаты
cp, Y и г соответственно. Преобразованный гамильтониан имеет вид
Я п =
2 М
Р"Р-
(2,2.59)
Предположим, что возмущением является электростатическая волна с
электрическим полем Е = - У7Ф, где
Ф= CD0sin (kzzXkxy-соty
(2.2.60)
100
Глава 2
В дрейфовых переменных имеем
#j = e<D"sin (kzz-\-k±Y-й^рэшф- cotj, (2.2.61)
где
р<рл= (ийгГ (2-2-62)
Так как возмущенный гамильтониан
Я' = Я0 + еЯ1 (2.2.63)
не зависит от импульса MQX, то Т = const и, сдвинув 2 или t на постоянную
величину, можно исключить постоянную фазу k, Y из (2.2.61). Нелинейность
колебаний возникает благодаря зависимости фазы kzz-kxp sin ф-(Dt от
sin ф и р. Поскольку гамильтониан зависит только от линейной
комбинации kzz-оit, то можно
исключить зависимость от времени, перейдя в систему отсчета волны. Это
осуществляется с помощью производящей функции
F2 = (kzz-со/)Рф + Рфф. (2.2.64)
Используя соотношения (1.2.13), получим новые переменные Рф, ф и новый
гамильтониан Я:
dF 2 дг
= &2Рф, (2.2.65а)
ф =-------- = kzz-со t, (2.2.656)
дРф
k2P2
Я = -----+ Р + ееФ0 sin (ф-&хр sin ф) = Е = const.
(2.2.66)
Здесь, как и прежде, е - малое возмущение (в конце вычислений полагают,
что е = 1). Резонансные гармоники возмущения можно выявить с помощью
разложения в ряд по функциям Бесселя
k2P2
Я= ~~^7----------------------рфС0+Рфй+ ееФоТ, ?m{k±p)sin(# - mq>).
2.М т
(2.2.67)
Мы уже видели, что необходимо оставаться достаточно далеко qt первичных
резонансов для того, чтобы амплитуды Фурье убывали быстрее резонансных
знаменателей. В нашем случае убывание амплитуд Фурье определяется
функциями Бесселя fm (k_L р). Невозмущенные частоты колебаний находятся
из (2.2.67):
соф = ^^=?!, (2.2.68а)
д Hr, kl
С0ф= -- =- Рф-(D = kzvz-со. (2.2.686)
дР ф М
Каноническая теория возмущений
101
Возмущение возбуждает только резонансы между основной частотой С0ф и
гармониками частоты соф, поэтому условие резонанса имеет вид
а)ф-mQ. - 0. (2.2.69)
Для kz = 0 из (2.2.686) получаем
со +/"0 = 0. (2.2.70)
Для kz Ф 0, разрешая (2.2.69), находим резонансные значения Рф:
Рф = - (со+/"0). (2.2.71)
kl
Мы исследуем эти резонансы с помощью резонансной теории возмущений в п.
2.4в.
Поскольку Яф является переменной действия, то для косой волны резонансы
(2.2.71) неизбежны. Рассмотрим поэтому перпендикулярную волну (kz = 0) в
предположении, что условие резонанса (2.2.70) не выполнено. В этом
случае, как будет показано ниже, при достаточно малом возмущении
первичные резонансы отсутствуют. Из (2.2.34) и (2.2.67) находим
- со = - e<D0]C/m(?±p)sin(ij; - mcp),
dip d<P m
(2.2.72)
где p = p (Рф). Решение этого уравнения имеет вид
Si= -*Фо У\ fm (Ахр) -С08(^-~"Ф) . (2.2.73)
со + т Q
т
С помощью последнего выражения можно связать старые переменные действия
Рф, Рф с новыми:
= Рф + ееФ0 X\fm (А±р) -Sin^f" ^ф) - (2.2.74)
v со + mQ
т
Обращая, в первом порядке получаем
РФ = Рф-ееФ0 У fm (ft±p) -(^~");Ф) - const. (2.2.75) v ш + mQ
m
Подобным же'образом находим
РФ = РФ Д ееФ0 "V \tnfm (kj.р) = const,
v ^ со + mQ
т
(2.2.76)
причем р (Рф) определяется выражением (2.2.62).
102
Глава 2
Используя соотношение (2.2.76) и фиксируя одну из фазовых переменных,
можно получить графики зависимости от другой фазовой переменной для
различных значений инварианта Р^. Такие инвариантные кривые эквивалентны
картине на поверхности
а
кур
б
Рис. 2.4. Инвариантные кривые на поверхности сечения ф = я для случая
нерезонансного взаимодействия частицы с волной при kz = 0 и to/Q = - -
30,11 (теория) (по данным работы [219]).
а - малая амплитуда волны, резонансы отсутствуют; б - большая амплитуда
волны" видны резонансы.
Каноническая теория возмущений
103
сечения Пуанкаре. На рис. 2.4, а я б показаны кривые зависимости &j-P
