Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 409

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 403 404 405 406 407 408 < 409 > 410 411 412 413 414 415 .. 942 >> Следующая

(5.7.1) по переменной t и последующей подстановки значений tj, х'.
Так, для (х')" имеем
. df (t,, хП df (tj, хП .
ir-L+-4r1<*y-
Дальнейшее дифференцирование для конкретного вида уравнений читатель
может проделать самостоятельно. Очевидно, что для сложных правых частей,
а также в случае системы больших размеров такие вычисления могут
оказаться громоздкими и весьма трудоемкими.
Если обозначить через x(t) точное решение дифференциальных уравнений
(5.7.1), удовлетворяющее начальному условию x(tj) - xt, то значение
x(f/+i) будет отличаться от х'+1, найденного по формуле (5.7.3), на
остаточный член тейлоровского
5.7. Методы моделирования динамических систем
197
разложения, т. е. на член вида (А,- = А)
---------Х(*+1)М
(Р + 1)!
Эта разность называется погрешностью аппроксимации на одном шаге, или,
иначе, локальной погрешностью аппроксимации. Обозначим теперь через x(t)
решение уравнения (5.7.1), удовлетворяющее условию x(to) = x°. Тогда
глобальной погрешностью аппроксимации при фиксированном t = t мы называем
выражение
¦Е-Ох'-хфН, (5.7.4)
где / = (?- to)/h. Если при h-*~0 локальная погрешность аппроксимации
есть 0(hp+l), то глобальная погрешность аппроксимации имеет порядок
малости на 1 меньше (E - 0(hp)). В связи с этим схема (5.7.3) называется
схемой p-то порядка. Ниже для всех численных схем мы будем указывать
только порядок глобальной погрешности аппроксимации для A = const.
5.7.1.2. Варианты метода Рунге - Кутты
Наиболее распространенными из всех являются различные варианты метода
Рунге - Кутты. При этом функция Ф в соотношении (5.7.2) задается с
помощью расчетной схемы
x/+i = х/ + Ylk, + V2ka + - + Ym+ikm+i. (5.7.5)
где векторы к,- вычисляются рекуррентно по формулам
k, = Af(^, х'),
k2 = Af x' + Puk,),
k3 = hf (tj + a2A, x1 + P2iki + ?22^2)1 (5.7.6)
km+i = hi {tj -f- amh, x^ -J- Pmiki -b • • • ~b Pmmkm).
Для наглядности сопоставим соотношениям (5.7.5), (5.7.6) следующую схему:
а. Рп
02 Р21 Р22
ат Рт1 Рт2 • • Ртт
Yl Y2 • • Y m Ym+1
198
Глава 5
Таблица 5.18. Варианты метода Рунге-Кутты а) усовершенствованный метод
Эйлера, 0(h2)
1 1
0,5 0,5
b) модифицированный метод Эйлера, О (А2)
0,5 0,5
0 1
с) метод Хюна, О (А3)
1/3 1/3
2/3 0 2/3
0,25 0 0,75
d) метод Кутты, О (А3)
0,5 0,5
1 - 1 2
1/6 2/3 1/6
е) стандартный вариант метода, О (А4)
0,5 0,5
0,5 0 0,5
1 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6
f) метод Мерсона, О (А4)
1/3 1/3
1/3 1/6 1/6
0,5 0,125 0 0,375
1 0,5 0 -1,5 2
1/6 0 0 2/3 1/6
5.7. Методы моделирования динамических систем
199
g) метод Нюстрёма, О (Л5)
1/3 1/3
0,4 0,16 0,24
1 0,25 -3 3,75
2/3 6/81 90/81 -50/81 8/81
0,8 6/75 36/75 10/75 8/75 0
23/192 0 125/192 0 -81/192 125/192
В табл. 5.18 представлены схемы различных вариантов метода Рунге - Кутты,
соответствующие разным значениям коэффициентов а, р и у. Для каждого из
них указывается также порядок погрешности аппроксимации (см. п. 5.7.1.1).
Наиболее простым вариантом метода Рунге-Кутты является метод Эйлера
xi+l = xi + M(th xi), (5.7.8)
имеющий первый порядок точности (одновременно он является методом,
основанным на разложении Тейлора). Чтобы получить у метода Рунге-Кутты
порядок погрешности 0(hp) для р = 1, 2, 3, 4, необходимо выполнить
соответственно 1, 2, 3, 4 подстановки в правую часть решаемого
дифференциального уравнения. При р - 5 требуется уже минимум шесть
подстановок; вообще говоря, для р> 4 всегда оказывается необходимым
использовать больше чем р подстановок. Методы, имеющие порядок
погрешности больше 4, используются поэтому достаточно редко - их
преимущества проявляются лишь при высоких требованиях к точности
вычислений.
5.7.1.3. Апостериорная оценка погрешности аппроксимации
При численном решении нам всегда нужно выяснить, с какой точностью мы
нашли решение исследуемой задачи. В большинстве численных методов для
оценки погрешностей аппроксимации получены соотношения, основанные на
использовании производных высших порядков от решения и правых частей на
всем исследуемом промежутке. Однако эти так называемые априорные оценки
погрешностей аппроксимации часто получаются чересчур пессимистичными:
фактическая погрешность аппроксимации оказывается существенно меньше
оценки. Вдобавок они требуют громоздких вычислений. Поэтому в подавляющем
большинстве случаев используются апостериорные (т. е. осуществляемые
после проведения вычислений) оценки погреш-
200
Глава 5
ностей. Для решения задачи Коши х(/) при фиксированном t (см. формулу
(5.7.4)) погрешность аппроксимации зависит от:
а) характера исследуемой задачи (вида дифференциальных уравнений,
начальных условий и т. д.),
б) применяемого метода и его порядка,
в) используемого шага h - в данном случае мы считаем его постоянным.
Если же мы фиксировали задачу и метод расчета, то в таком случае
погрешность аппроксимации решения (при фиксированном t) зависит только от
величины шага h. Предположим, что
lira ^- = С^= 0.
л->+о h
Предыдущая << 1 .. 403 404 405 406 407 408 < 409 > 410 411 412 413 414 415 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed