Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 402

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 396 397 398 399 400 401 < 402 > 403 404 405 406 407 408 .. 942 >> Следующая

ме, т, д) = -А0 + зЬот(в-е- ат(е~0с) )х
X ехр t +ee/Y' - ах (0 - 0С) = 0. (5.4.42)
Поскольку п= 1, мы получаем Xk = х\=в. Уравнение (5.4.35) принимает вид
Ж-•'. = -!!- (5.4.43)
и, следовательно, соотношение (5.4.37) эквивалентно условию
Ж =-Л + [-('+ т) + (В - в- TT+W] х
х kQ% ехр l +ee/v' - от = 0. (5.4.44)
Аналогичным образом, уравнение (5.4.38) записывается в виде
(5.4.45)
а условие (5.4.40) дает
^=4в-в-^(ел-в'>]ехР7я^-а(в-ес) = 0.
(5.4.46)
Таким образом, мы имеем три уравнения (5.4.42), (5.4.44) и (5.4.46) для
трех неизвестных 0, т и а. Ход итераций, полученных при использовании
метода Ньютона с матрицей Якоби, которая вычислялась с помощью
соответствующих разностных формул, представлен в табл. 5.10. Полученные
результаты соответствуют диаграмме решений, изображенной на рис. 5.2.
Таблица 5.10. Расчет точки возникновения изол для задачи 1. (Метод
Ньютона для системы уравнений (5.4.42), (5.4.44) и (5.4.46); у - 20, В =
10, Л = 1,
0с = -5, ko = 1).
Итерация в т а
0 5,0000 0,04000 5,0000
1 5,6148 0,03739 4,8189
2 5,4867 0,03854 4,7568
3 5,4847 0,03857 4,7507
4 5,4847 0,03857 4,7508
5.4. Точки ветвления стационарных решений
175
В работе [5.13] был рассмотрен еще один алгоритм для определения точки
возникновения изол. Так, на зависимости
Рис. 5.12. Диаграмма стационарных решений задачи 3; p. = 8,4-10-6, f = 2,
е = 6,6667-10-4, е' = 1,7778-Ю-5. Точка Р-см. рнс. 5.10, точки Р и Q -
см. рис. 5.206.
х (а2) при а, = а' точка Р представляет собой точку поворота (см. также
рис. 5.10). Необходимое условие для точки Р имеет
176
Глава 5
при ЭТОМ ВИД
fn-ы (-^ь * • •" %п> а2) det J (xi, . . ., xni аь (Х2)=== О"
(Б.4.47)
где J = [dfi/dxj] -матрица Якоби. При фиксированном xk=x*k
зависимость (xi xk~i, xk+i, хп, ai) от a2 также имеет
точку поворота, и поэтому должно быть выполнено условие
fn+2(^1, хп, ab a2) = detЗк(хи хп, аь а2) = 0, (5.4.48)
где матрица определяется по формуле (5.2.12) при хп+\ = аь Объединив
(5.4.32), (5.4.47) и (5.4.48), мы вновь получаем п+2 нелинейных уравнений
относительно п + 2 неизвестных. Отметим, что уравнения (5.4.47) и
(5.4.48) формально тождественны соотношениям (5.4.1) и (5.4.2) для
нахождения точек ветвления. Однако здесь мы имеем на одну переменную
больше (добавится а2), и для решения этой системы мы используем метод
Ньютона (в отличие от п. 5.4.1, где применялся метод Гаусса - Ньютона).
Читатель, который воспользуется вторым методом для нахождения точек
возникновения изол в уравнении (5.4.42), получит те же результаты, что и
в случае применения первого метода, поскольку здесь п = 1.
Применим оба описанных подхода для анализа задачи 3, где роль параметра
а\ будет играть параметр (3, а роль параметра а2 - параметр а. Пример
расчета итераций по методу Ньютона (матрица Якоби вычисляется с помощью
соответ-
Таблица 5.11. Расчет точек возникновения изол в задаче 3 (ц = 8,4 X Ю-в,
1 = 2, е = 6,6667 X 10-4, е' = 1,7778 X 10~5). Ход итераций по методу
Ньютона.
Метод Итера- ция X1 гх. Хз a Р
Ф-лы (5.4.32), 0 0,200 1,000 0,100 0,300 1,000
(5.4.37), (5.4.40) 1 0,251 0,797 0,125 2022 1,018
2 0,251 0,748 0,125 3496 1,010
3 0,249 0,750 0,125 3508 0,997
4 0,249 0,750 0,125 3508 0,997
Ф-лы (5.4.32), 0 0,200 1,000 0,100 0,300 1,000
(5.4.47), (5.4.48) 1 0,156 0,889 0,106 1562 0,444
2 0,216 0,789 0,129 3737 0,704
3 0,257 0,741 0,127 3569 1,019
4 0,250 0,750 0,125 3511 0,998
5 0,249 0,750 0,125 3508 0,997
6 0,249 0,750 0,125 3508 0,997
5.5. Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа)
177
ствующих разностных формул) приведен в табл. 5.11. Соответствующая
диаграмма решений для различных значений параметра а изображена на рис.
5.12.
5.5. КОМПЛЕКСНАЯ БИФУРКАЦИЯ (БИФУРКАЦИЯ ХОПФА) РЧ
Устойчивость стационарного решения системы (5.1.1) характеризуется
собственными числами матрицы Якоби, определяемой правыми частями
соответствующих уравнений. Если мы изменяем один из параметров системы,
то вдоль ветви решения на соответствующей диаграмме решений характер
устойчивости может изменяться лишь в точках, где собственное число
переходит из левой половины комплексной плоскости в правую. Переход
вещественного собственного числа через нуль обсуждался нами в § 5.2. Если
пара комплексно-сопряженных собственных чисел пересекает мнимую ось, то
матрица Якоби все время остается невырожденной, и на диаграмме
стационарных решений мы имеем регулярную точку данной ветви. Однако
характер стационарного решения при этом переходе может измениться:
устойчивое решение может стать неустойчивым (или наоборот). Точки
диаграммы стационарных решений, в которых пара комплексно-сопряженных
собственных чисел пересекает мнимую ось, называются точками комплексной
бифуркации или точками бифуркации Хопфа, по имени математика,
опубликовавшего одну из основополагающих работ о характере решений в
окрестности таких точек. Следующий существенный факт мотивирует
разработку алгоритмов для нахождения точек комплексной бифуркации: в
Предыдущая << 1 .. 396 397 398 399 400 401 < 402 > 403 404 405 406 407 408 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed