Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 401

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 395 396 397 398 399 400 < 401 > 402 403 404 405 406 407 .. 942 >> Следующая

fi(x,, аь сед)== 0. (5.4.32а)
Множество S(fi) = {(*,, щ, аз) е R3, М*ь аь 03) = 0} представляет собой в
общем случае некоторую поверхность в R3. Предположим, что эта поверхность
имеет вид параболоида вращения с вершиной в точке Р, ось которого
параллельна оси а2 (см. рис. 5.10). Зафиксируем теперь параметр а2 в
формуле (5.4.32а), полагая а2 = 5,2¦ Мы получаем уравнение с одним
параметром, диаграмма решений которого представляет собой пересечение-
множества S(fi) (параболоида вращения) с плоскостью а2=а2. На рис. 5.10
видно, что при а2<а2 это пересечение пусто, при й2 = а* оно вырождается в
точку Р, а при а2 > а2 указанное пересечение представляет собой некоторую
замкнутую кривую. Ортогонально проектируя эту замкнутую кривую на
плоскость xi - <*i, мы получаем в этой плоскости искомую изолу. Описанная
ситуация схематически представлена на рис. 5.11.
Сформулируем теперь необходимые условия, позволяющие определить точку Р'>
для системы общего вида (5.4.32). В окрестности этой точки переменную а2
можно рассматривать
Р = (х*, а*, а2) - точка на двумерной поверхности S = (х, aj, а2 е <s
R"+2; f (х, ар а2) = oj, являющаяся изолированной точкой в пересечении S
с плоскостью а2 = а2. - Ярим. ред.
5.4. Точки ветвления стационарных решений
171
.Рис. 5.11. Схематическое изображение возникновения изол на диаграмме
решений.
172
Глава 5
как функцию переменных xk, а.\ (при некотором фиксированном k)
а2 - Ф (xk, сц). (5.4.33)
Действительно, выбрав значения xk и щ, из уравнений (5.4.32) можно
определить оставшиеся неизвестные хи xk-\, ....
..., хп и а2 и таким образом получить функциональные зависимости Xj =
Xj(xk, ai) и a2 = a2(x*, ai) (=<р(х&, aO). Функция <р имеет экстремум в
точке Р и, следовательно, для нее должны выполняться соотношения
J5L = ", А = 0. (ЪА.щ
Положим хп+i=a,2, считая, что матрица ik задана выражением
(5.2.12). Дифференцируя систему (5.4.32) по переменной хи, мы получаем
систему линейных алгебраических уравнений
J*'r = - <5-4-35>
относительно составляющих вектора
г = (r r\ = (-1 дХк-1 dXk+l дХп даЛ
п) \3хк дхк ' дхк ' •••' dxk' dxj-
(5.4.36)
Первое из условий (5.4.34) можно при этом записать в виде 1, х2, ..., xni
ctj, ct2)== О (5.4.37)
Дифференцируя (5.4.32) по аь получим систему
=----------------------------(5.4.38)
где использовано обозначение
в_/< - дХк-1 дХк+1 дхп да2Л
' 1' п' V dai ' ' ' ' ' dai ' 9ai ' ' ' ' ' dai ' dai J
(5.4.39)
и, следовательно, второе из условий (5.4.34) записывается в виде sra(xb
х2, .. ., хп, аь а2) = 0. (5.4.40)
дх, ( da" \
*) Компоненты г имеют смысл производных I или -^ 1 на по-
верхности f = 0. Однако систему (5.4.35) можно рассматривать и вне этой;
поверхности; тогда r = r(x, ai, a2). Именно так понимается гП в
(5.4.37).- Прим. ред.
5.4. Точки ветвления стационарных решений
173
Отметим, что системы (5.4.35) и (5.4.38) имеют одну и ту же матрицу и,
следовательно, решение их может быть найдено с помощью метода исключения
Гаусса для обеих правых частей одновременно.
Итак, для определения координат точки Р мы имеем в самом общем случае п +
2 уравнений (5.4.32), (5.4.37) и (5.4.40) относительно п + 2 неизвестных
х\,х2, ..., хп,а\,а2 [5.13]. Задавая значения этих неизвестных, мы можем
найти левые части указанных п + 2 уравнений и затем использовать для
нахождения решений этой системы соответствующие итерационные процедуры,
например обобщенный метод секущих или метод Ньютона с матрицей Якоби,
подсчитываемой с помощью разностных формул (при аналитическом вычислении
производных для соотношений (5.4.37) и (5.4.40) нам потребовалось бы
вычислять частные производные второго порядка от функций /,¦).
Изолы могут существовать либо при а2 > а*, либо при а2 < < а2. Различить
между собой эти два случая можно опытным путем, используя метод Ньютона
для а2 > а2 и а2 < а2, причем существование решения доказывается
сходимостью к этому решению на изоле*>. Другая возможность заключается в
том, чтобы вычислить частные производные второго порядка d\jdx\,
д2(р/дхкда1, д\1да\ и использовать условия Сильвестра для минимума и
максимума функции <p(x*,a). Так, если
32ф " 32ф <32ф Г <32ф I2
ТГ > 0 " 2 2
dxk дх\ daf
Г^М2>°> <5-441>
L дч dai J
то функция ф имеет минимум и, следовательно, изолы существуют при а2 >
а2. Если же первое из неравенств (5.4.41) имеет обратный знак, то изолы
существуют при а2 < а2.
Рассмотрим пример использования описанного выше алгоритма для нахождения
точки возникновения изол. Обратимся вновь к задаче 1 в формулировке с
использованием времени задержки т, которое в данном случае играет роль
параметра аь Обращаясь к рис. 5.2, мы видим, что критическое значение
параметра а (выступающего здесь в роли параметра а2) приблизительно равно
5. Воспользуемся соотношением (5.2.3). Стационарные состояния при этом
описываются уравнением (5.2.4).
>> Имеется в виду решение системы f(x, оь, а2) = 0 при фиксированных ai и
аг. - Прим. ред.
174
Глава 5
Используя формулы Da = kox, Р = ат, имеем из (5.2.4)
Предыдущая << 1 .. 395 396 397 398 399 400 < 401 > 402 403 404 405 406 407 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed