Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 399

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 393 394 395 396 397 398 < 399 > 400 401 402 403 404 405 .. 942 >> Следующая

162
Глава 5
одна переменная (c) и один "живой" параметр Da. - Ред.) В п. 5.2.1 мы
вывели соотношение (5.2.4), из которого находим
Da = [в - 0 - Р(0-д -] 1 [Л(c) + Р (0 - 0С)] • ехр =
= g(0, Л, у, В, 0, 0е). (5.4.16)
В точке поворота имеет место условие dDa/d(c) = 0, или
ag(e,A,^5,p,e?) =0 (5417)
Если мы найдем корень 0* уравнения (5.4.17) при фиксированных значениях
параметров Л, у, В, р и 0С, то из формулы
(5.4.16) получим значение Da* в точке поворота. Проведя
дифференцирование в (5.4.17), после некоторых преобразований мы получаем
квадратное уравнение относительно неизвестной 0. Тем самым можно найти
максимум два положительных корня 0, которые соответствуют точкам поворота
на диаграмме решений- зависимости от Da (см. также данные табл. 5.3).
5.4.2. Продолжение решения из точки ветвления
В предыдущем пункте мы рассмотрели некоторые методы нахождения точек
ветвления на диаграмме решений. В § 3.4 были получены соотношения для
определения касательных векторов ветвей решения, отходящих из данной
точки ветвления. В то время как процедуры для определения точек ветвления
носили итерационный характер, угловые коэффициенты ветвей разыскивались с
помощью различных финитных подходов, основанных на методе исключения
Гаусса (точка ветвления предполагалась известной заранее). В настоящем
пункте мы опишем, как используются эти сведения для процесса продолжения
по параметру, т. е. построения диаграммы стационарных решений (см.
[5.12]).
При этом мы будем предполагать, что имеет место случай "общего
положения": ранг матрицы Якоби J и расширенной матрицы J понижается
только на 1:
rank J = rank J = п - 1.
Указанный алгоритм состоит из 9 шагов:
1. Нахождение точки ветвления (х**,а**), см. п. 5.4.1.
2. Вычисление частных производных функций ft в этой точке, построение
матрицы J по формуле (3.3.3).
5.4. Точки ветвления стационарных решений
163
3. Решение двух систем линейных алгебраических уравнений
(3.4.2) и (3.4.3) с целью нахождения частных производных
дер, <3ср,
вгг- На ' / = 2' 3..... "• (5.4.18)
Это решение можно получить, применяя метод исключения Га-
усса для двух различных правых частей одновременно, поскольку системы
(3.4.2) и (3.4.3) имеют одну и ту же матрицу.
4. Нам потребуются частные производные второго порядка от функции F(x 1,
а), даваемой формулой (3.3.11а). С этой целью вычислим производные
функции f, в точке (х**, а**):
г г =3 г - д% г -ЛЬ- (5419)
hi дх^ ha да' hjk dxjdxk' hja- dxjtЗа' I0-*-1")
Значения частных производных первого порядка мы уже нашли на шаге 2.
Обозначим аналогично производные функций ф,:
<4- / дфг / <Э2фг
дху Ф"а = (За Ф"11 (Эх,
г д2Ф,- / _ д2Ф>4
Фпа = dxida ' Ф"аа да2
(5.4.20)
В этих обозначениях системы (3.4.2) и (3.4.3) переписываются в виде
? Wi = -fiv i=h 2, ..., n-l, (3.4.2a)
j - 2
i=l, 2, .... я-l. (3.4.3a)
Дифференцируя соотношение (3.4.2a) по x\, находим
,?2 ^= _ /?2 ! ^it2 ^1 ~ ^f11'
(=1, 2, ..., я-1. (5.4.21)
Аналогичным образом, дифференцируя формулу (3.4.2а) по а,
получаем
164
Глава 5
Наконец, дифференцирование (3.4.3а) по а дает
% Woa = - [ ЭД/аФ/a + Z (Я/Ха) Ф^а 1 - f'iaa'
J - ^ J ¦" J а- Д e ^ J
г = 1, 2, ..., n- 1. (5.4.23)
Соотношения (5.4.21), (5.4.22) и (5.4.23) представляют собой 3 системы
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных <р'п, ф'1а,
ф,аа, обладающие одинаковой матрицей. Тем самым, с помощью метода
исключения Гаусса их можно решать одновременно. (Правые части систем
составлены из величин, численные значения которых уже определены на
предыдущих шагах алгоритма.)
5. Находим частные производные второго порядка для функции F, задаваемой
формулой (3.3.11а):
л=%г-г*п+?\ ЗД+м..+Ё (г"А) ч>;,1.
/ - 2 L ft -- 2
В = ==^'а + Ё ^*1А + f'wf'i I + КМи +
+ Ё <5-4-24>
k = 2 J
Й Г Я
С = 1&Г = f'naa + Yj 2^/аФ/а + fn/Ф/аа + Y (^п/Ха) Ф/а *
/ = 2 L ft=2 J
6. Строим стартовые точки для алгоритма продолжения, например, алгоритма
DERPAR (см. п. 5.2.3). Выбираем две малые числовые постоянные
hi >0, ha> 0. (5.4.25)
7. По крайней мере одно из двух искомых направлений ответвления
характеризуется конечным значением производной dxi/da (см. (3.2.4)).
Если оба значения производной оказываются конечными, то,
выбирая меньшее из этих двух значений,
полагаем
направление 1:
= (5.4.26)
где Si вычисляется согласно формуле (3.2.6). Другое направление
характеризуется конечным значением производной da/dxi и, следовательно,
5.4. Точки ветвления стационарных решений
165
направление 2:
-gt'-S,. (5.4.27)
8. С помощью полученных таким образом двух характеристи-'ческих
направлений мы находим четыре исходных точки для
Таблица 5.7. Стартовые точки для процесса продолжения. Для каждого
направления мы получаем две точки, одну для Р = 1 и другую для Р = -1.
Здесь Ni - параметры направления для процесса продолжения, k - индекс
переменной, которая остается фиксированной в ходе ньютоновских итераций
для уточнения стартовой точки.
Направ- ление Стартовая точка Nl k
Предыдущая << 1 .. 393 394 395 396 397 398 < 399 > 400 401 402 403 404 405 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed