Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее часто встречающиеся ситуации представлены в табл. 5.5. Конечно,
можно найти и соответствующие контрпримеры, однако результаты табл. 5.5,
судя по всему, будут верны для большинства практически важных случаев.
Таблица 5.5. Наиболее вероятные ситуации
Скорость сходимости
для процесса (5.4.5), (5.4.6) для процесса (5.4.8), (5.4.6)
Точка поворота Точка бифуркации квадратическая линейная расходится
квадратическая
Рассмотрим простой пример для п = 1. Пусть /1 = х (х2 - а) [(х - I)2 -f а
- 4] (1 - k + k (х - а)) = 0. (5.4.9)
5.4. Точки ветвления стационарных решений
159
Диаграмма решений для этого случая изображена на рис. 5.7. Параметр k
может принимать два значения й = 0 и ^=1 (для
Номер X а *=о* k=\
1 1,8229 3,3229 ТВ ТВ
2 1 4 ТП ТП
3 0 3 ТВ ТВ
4 -0,8229 0,6771 ТВ ТВ
5 0 0 ТП ТВ
6 2,3028 2,3028 РТ ТВ
7 -1,3028 -1,3028 РТ ТВ
8 1 1 РТ ТВ
ТВ-точка ветвления, ТП-точка поворота,
РТ-регулярная точка.
* При k-О рассматривать лишь сплошные линии.
k=\ мы имеем двойную точку бифуркации № 5). Конкретная
форма уравнений (5.4.1) и (5.4.2) в данном случае очевидна:
f2 = 6?х5 + 5 (1 - 3& - ka) х4 + 4 (2ka - k - 2) x3 +
+ 3 (5ka -3 + 3k)x2 + 2 (-3ka2 + a (k + 2)) x +
+ ka3-(2k+ l)a2 + 3(l -k)a, (5.4.10)
f3 = -kxb + 2&x4 + 5&x3 + (k + 2 - 6ka) x2 +
+ (36a2 - 2 (2k + 1) a + 3 (1 - k)) x.
В табл. 5.6 указано число итераций, необходимых для обеспечения
неравенства
max (| х* - х* |, | ak - а |) е (5.4.11)
160
Глава 5
Таблица 5.6. Исследование примера (5.4.9). Показано число итераций,
необходимое для выполнения неравенства (5.4.1).
k Начальное приближение (х. а) Метод (5.4.5), (5.4.6)
Метод (5.4.8), (5.4.6)
8 схо- дится к точке Ч 8
сходится к точке Ч
ю-2 ю-4' ю_6 10~2 ю~4 10-6
0 0,01 0,01 0 11 20 5 0 2 2 5
1,1 4,1 2 3 3 2 9 19 28 (1,02; 3,07)2)
1,5 3,0 8 15 21 1 3 4 4 1
0,1 3,1 6 13 20 3 2 2 3 3
-1,0 0,5 7 14 21 4 2 4 4 4
1,0 1,0 7 15 25 5 4 5 5 5
2,2 2,0 7 14 21 1 3 4 5 1
10 10 19 26 >31 1 12 12 13 1
-10 -10 19 26 >31 4 13 14 15 4
1 -0,5 0,5 9 20 >31 5 7 14 20 5
-1 -2 13 25 >31 5 8 15 22 5
-2 - 1 9 16 22 4 8 9 10 7
3 2 10 17 23 6 5 6 7 6
1,1 1,2 3 10 17 8 2 3 4 8
Ч Точки, отмеченные цифрами на рис. 5.7. 2) Стационарная точка ф.
при различных начальных приближениях. Из таблицы видно, что итерационный
процесс (5.4.5), (5.4.6) сходится квадратично к точке поворота и линейно
(если он вообще сходится) к точке ветвления1). Итерационный процесс
(5.4.8) сходится квадратично к точке ветвления. Точка № 5 на рис. 5.7 при
k = 1 представляет собой точку ветвления (в ней пересекаются три ветви
решения). Характер обоих итерационных процессов можно проследить в нижней
части табл. 5.6. Отметим, что процесс
(5.4.8) сходится к упомянутой точке лишь линейно.
Для систем больших размеров точное вычисление соответствующих
определителей может оказаться довольно трудным делом из-за накопления
погрешностей округления. Условие
11 Итерационный процесс в Rra uk+i = 0(uk) сходится "линейно" (т. е. так,
как при линейном отображении Ф), если г* s: Cqh, 0 < q < 1. Здесь rfe =
||ufe - и ||, и = lim uk. Обычно при этом rk - Cqk + о(qk).
k->oo
Процесс сходится "квадратично", если
5.4. Точки ветвления стационарных решений
161
det J = 0 можно записать иначе: должен существовать не равный
нулю вектор v, такой, что
J (х, a) v = 0. (5.4.12)
Этот вектор определен с точностью до постоянного множителя, и поэтому к
соотношению (5.4.12) добавляется еще условие "нормировки" вектора v,
например,
П
Е"?=1 (5.4.13)
i = 1
ИЛИ
Vk=l (5.4.14)
при заданном к. Уравнения (5.4.0), (5.4.12) и (5.4.13) (или
(5.4.14)) образуют систему 2п + 1 нелинейных уравнений относительно 2п +
1 неизвестных составляющих х, v, а. Решение этой системы можно искать,
например, с помощью метода Ньютона. Построение матрицы Якоби для
применения метода Ньютона требует вычисления вторых производных функций
/,¦ или использования соответствующих разностных формул. Заметим, что в
случае п = 1 метод, описываемый формулами (5.4.12),
(5.4.14), оказывается тождественным подходу (5.4.5), поскольку условие
для функции fn+i (5.4.1) идентично соотношению
(5.4.12).
Другой метод нахождения точек поворота основан на использовании условия
S- = o <5'4'15>
при соответствующим образом выбранном k. Условие (5.4.15) вместе с
системой (5.4.0) вновь образует систему n-f 1 нелинейных уравнений
относительно неизвестных х\,х2, ..., хп,а. Левую часть формулы (5.4.15)
можно найти как последнюю составляющую вектора v, т. е. решая систему
линейных алгебраических уравнений
J*(x, a)-v = -^,
где матрица ik определяется формулой (5.2.12). При п=1 условие (5.4.15)
вновь оказывается эквивалентным соотношению (5.4.5).
Более просто определяются точки поворота в тех случаях, когда мы можем
воспользоваться методом отображения параметра (см. п. 5.2.1).
Продемонстрируем эту процедуру на примере нахождения точек поворота в
задаче 1. (В этом примере
П М. Холодниок и др.
