Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
существует несколько устойчивых стационарных состояний, то отдельные
области притяжения разделяются гиперповерхностями, называемыми
сепаратрисами. В случае п = 2 они находятся сравнительно просто (это
кривые на плоскости); при п > 2 указанная задача становится гораздо более
трудной.
5.4. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ. ВЕЩЕСТВЕННАЯ БИФУРКАЦИЯ2"
При параметрическом исследовании выбранной задачи нас обычно интересуют
все ветви на диаграмме стационарных решений. Как уже отмечалось выше (гл.
3), ветви решений начинаются и заканчиваются в некоторых критических
точках. Если мы найдем эти точки, то, естественно, сможем существенно
упростить процесс построения диаграммы решений. Критические точки
диаграммы стационарных решений характеризуются тем, что одно из
собственных чисел матрицы Якоби для правых частей исходных
дифференциальных уравнений равняется нулю. В гл. 3 такого рода точки
вещественной бифуркации мы подразделяли на точки поворота и точки
ветвления.
В этом параграфе мы займемся анализом алгоритмов нахождения точек
вещественной бифуркации, исследуем связь ветвления в окрестности точки
бифуркации с процессом продолжения решения, а также рассмотрим способы
нахождения точек, в которых возникают изолы - замкнутые кривые,
являющиеся компонентами диаграммы решений.
5.4.1. Нахождение точек поворота и точек ветвления
Пусть снова уравнения
ft(x 1, х2, ..., Хп, о) = 0, г'=1, 2.п, (5.4.0)
В случае линейной системы (см. п. 5.3.1) выводы были справедливы для
траекторий, начинающихся в любой точке пространства R".
2) Этот термин не является общепринятым.-Прим. ред.
5.4. Точки ветвления стационарных решений
157
•определяют стационарные решения системы дифференциальных уравнений. Для
того, чтобы существовали точки (вещественной) бифуркации стационарных
решений, необходимо, чтобы (где-то в изучаемой области (х, а))
выполнялось условие
fn+ i(*i> х2, ..., хп, а) = det J (хь х2, .... хп, а) = 0, (5.4.1)
где J - матрица Якоби; J = [dfi/dxs]. Равенство (5.4.1) есть отрицание
основного условия теоремы о неявных функциях. Оно формально эквивалентно
утверждению о том, что у матрицы J имеется собственное число, равное
нулю.
Для того, чтобы в изучаемой области (х, а) существовали точки ветвления,
необходимо, чтобы дополнительно к (5.4.1) при некотором k выполнялось
условие
fп+2 (^ь х2г ..." хп, о) det Jfc(xj, x2i ..., xn, ct) 0, (5.4.2)
где in - матрица, определяемая формулой (5.2.12) и получаемая из матрицы
J вычеркиванием k-то столбца, [dft/dfn+1] = = [dfi/da\. В большинстве
практических задач для точки поворота (х*, а*) при всех k выполняется
условие
fn+г(х > о ) ^ 0. (5.4.3)
Наоборот, для точки ветвления (х**, а**) из теоремы о неявных ¦функциях
следует, что для всех k
/п+2(х", 0 = 0. (5.4.4)
Таким образом, соотношения (5.4.3) и (5.4.4) можно использовать для
установления различий между точкой поворота и точкой ветвления.
Остановимся теперь на определении так называемых точек первичной
бифуркации, т. е. точек бифуркации на тривиальном решении1': х(а) = х для
всех значений параметра а. При этом уравнения системы (5.4.0) выполняются
автоматически, а уравнение (5.4.1) определяет собой соотношение для
определения значения параметра а** в точке бифуркации. Решение этого
(одного) нелинейного уравнения может быть найдено, например, с помощью
метода Ньютона.
В общем случае уравнения (5.4.0) и (5.4.1) образуют вместе ¦систему из п
+ 1 уравнений относительно (n-fl) неизвестных координат х\, х\, ..., х*,
а" критической точки. Для нахождения решения этой системы мы вновь можем
воспользоваться
*> Здесь под тривиальным решением мы понимаем решение, которое не зависит
от выбранного параметра.
158
Глава 5
методом Ньютона:
F' (Хк) ДХ* = - F (X*), (5.4.5>
Х*+1 = х* + АХ*. (5.4.6}
Здесь использованы обозначения X = (ati, х2, хп, a), F =
= (/ь /г, •••, fn+i), причем F'(X) = [dfi/dXj] - это матрица
Якоби. Последняя строка этой матрицы подсчитывается обычна с помощью
соответствующих разностных формул. Формулы для их аналитического
вычисления (полезные при небольшом п) представлены в работах [5.9, 5.10].
Рассмотрим теперь точку (х, а), которая удовлетворяет соотношениям
(5.1.3), (5.4.1) и (5.4.2), т. е. условиям для точки ветвления. Здесь мы
имеем п + 2 уравнений для п-f-l неизвестных составляющих вектора X.
Положим теперь F = (/i, /2, •••, fn+ч)- Для решения переопределенной
системы
F (X) =0 (5.4.7>
воспользуемся методом Гаусса - Ньютона (см. [5.1]):
[F/r (Xft) F' (X6)] ДХ* = - F'T (X*)"F (Xft). (5.4.8)
Каждое новое приближение мы подсчитываем вновь по формуле (5.4.6).
Указанный метод сходится к стационарной точке (минимуму) функции ф = FrF;
при этом в точке ветвления функция ф имеет минимум, равный нулю (и только
в этом случае метод дает нужное нам решение переопределенной системы).
Если матрица F'r(X**)F'(X**) оказывается невырожденной, то сходимость
метода, даваемого формулой (5.4.8), будет квадратической.
