Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
корней (2k -\-m - п). Тогда существует k + ( (tm) ) решений (а, Р)
для уравнений А = 0, В = 0. Таким образом, решений может оказаться
относительно много, и поэтому вполне вероятно, что метод Ньютона со
случайно выбранным начальным приближением аир будет сходиться.
Произвольное решение системы А (а, Р)= В(а,Р) = 0 позволяет понизить
степень многочлена на два. Однако при таком последовательном понижении
степени многочлена могут накапливаться погрешности (в частности,
неточности вычисления аир, погрешности округления
т
Глава 5
и т. п.), так что последние из найденных корней могут оказаться уже
недостаточно точными. Эти погрешности можно скорректировать, применяя,
например, метод Ньютона или метод Лина - Бэрстоу для исходного
многочлена.
Вычисление набора собственных чисел матрицы с помощью характеристического
многочлена оказывается эффективным при небольших п. При больших значениях
п, например при п > 20 (в зависимости от конкретной задачи), происходит
накопление погрешностей округления, и результаты могут оказаться очень
неточными, а часто вовсе неприемлемыми. Поэтому для вычисления всех
собственных чисел матрицы обычно используются прямые итерационные методы,
являющиеся стандартной составной частью программного обеспечения ЭВМ
(например, программы EISPACK, MATLAB и др.). В настоящее время чаще всего
используется Q^-алгоритм (см., например, [5.34]). Используя это
программное обеспечение, можно эффективно находить все собственные числа
матрицы с числом строк п, измеряемым десятками.
5.3.5. Нелинейные уравнения - исследование устойчивости в линейном
приближении
Обратимся вновь к нелинейной системе (5.1.1)
x't = fi(xi'--->xn>a)> i = U ¦¦¦, п. (5.3.15)
Будем исследовать поведение решения в окрестности стационарного состояния
х при заданном а. Введем вектор отклонений решения от х
6 - х - х. (5.3.16)
Исходное нелинейное уравнение в окрестности точки х аппроксимируем с
помощью формулы Тейлора, сохраняя члены до первого порядка включительно
('=d/dt):
x'i = К + б/ = ft (х- ") = fi (х + б> °) ~
- df- (*> °0
~ ft (х, а) + ^ llgx 6h i=l, 2, ..., п. (5.3.17)
/=i 1
Для стационарного решения х имеем Х; = 0, ft (х, а) = 0, и из разложения
(5.3.17) мы получаем
П df -
A, /=l>2' • п> аи=='дг(х'")• (5-3-18)
/-I 1
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
155.
Система (5.3.18) представляет собой линейную систему с постоянными
коэффициентами, для ее исследования можно воспользоваться результатами
предыдущих пунктов. Так, если все собственные числа матрицы А = [а,-,]
имеют отрицательные вещественные части, то 6->0 при t-^oо и, стало быть,
принимая во внимание формулу (5.3.16), х->х при Если
некоторые собственные числа матрицы А имеют положительные вещественные
части, то стационарное решение х не будет устойчивым. Если, наконец,
некоторые из собственных чисел имеют вещественные части, равные нулю, а
остальные ReJw<0, то линейное приближение не позволяет решить вопрос об
устойчивости стационарного решения.
Результаты, полученные с помощью указанного метода линеаризации, были
использованы для выделения областей устойчивости на диаграммах
стационарных решений, приведенных в § 5.2. Покажем, как подсчитываются
значения Aj и А2 в табл. 5.2. Дифференцируя по соответствующим переменным
правые части дифференциальных уравнений задачи 1, мы получаем (ср.
формулу (5.2.17))
-Л-Da Е, Da (1 - х) Е/(1 + 0/у)2
-Da BE, -Л + DaS(l - х) E/(l + 0/у)2- Р
где Е - ехр(0/(1 + 0/т)). Соответствующий характеристический многочлен
имеет вид
Р (А,) = к2 - (ап -f- а22) к -f- alla22 - (5.3.20)"
В соответствии с терминологией, принятой в теории динамических систем на
плоскости, будем называть стационарное решение (состояние равновесия)
узлом, седлом или фокусом в зависимости от значений собственных чисел А,ь
А,2:
седло: A,i, А,2 вещественные, A,j • А,2 < 0;
узел: А,ь А,2 вещественные, А,, • А,2 > 0;
фокус: А,ь А,2 комплексно-сопряженные (А,] = А,2).
Фокус и узел могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, седло же
всегда является неустойчивым. Соответствующие типы решений и значения
собственных чисел А,ь к2 представлены в табл. 5.3.
Из стремления б(t) к 0 в (6.3.18) действительно следует, что xR)-*-x в
силу исходной системы (5.3.15) (при достаточной малости |х(0)-х|). Однако
доказательство этого совсем не просто; оно было впервые дано А. М.
Ляпуновым. - Прим. ред.
1. (5.3.19)
156
Глаза 5
В заключение отметим, что результаты, найденные с помощью метода
линеаризации, имеют локальный характер. Это означает, что они говорят
лишь о поведении траекторий, которые начинаются "вблизи" стационарного
состояния1). В нелинейном случае вокруг устойчивого стационарного
состояния существует так называемая "область притяжения", т. е. область
начальных условий, которые дают траекторию, приближающуюся к указанному
состоянию. В случае одного устойчивого состояния такой областью
притяжения может оказаться все пространство Rn. Если одновременно
